刑事犯罪嫌疑人一看警方到来便逃跑，可能涉及多个罪名，具体取决于其逃跑前的行为性质及逃跑后的相关情况。以下是对此问题的详细分析：

1. 若逃跑前已构成犯罪：

   • 逃跑行为可能构成脱逃罪：根据《中华人民共和国刑法》第三百一十六条的规定，依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人脱逃的，处五年以下有期徒刑或者拘役。但此处的“脱逃”通常指的是从羁押场所如看守所、监狱等逃脱。若犯罪嫌疑人并未被正式羁押，而是在警方到来时逃跑，则不直接构成脱逃罪，但逃跑行为可能作为量刑时的从重情节考虑。
   • 逃跑可能作为原犯罪行的从重情节：如果犯罪嫌疑人在逃跑前已经实施了犯罪行为，如盗窃、抢劫等，那么其逃跑行为可能被视为逃避法律制裁，从而在原犯罪行的量刑上作为从重情节。

2. 若逃跑行为本身构成新的犯罪：

   • 在特定情境下可能构成妨害公务罪：如果犯罪嫌疑人在逃跑过程中，以暴力、威胁方法阻碍国家机关工作人员依法执行职务，如阻碍警察追捕，那么可能构成妨害公务罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十七条的规定，以暴力、威胁方法阻碍国家机关工作人员依法执行职务的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者罚金。
   • 若涉及其他严重情节，可能构成更严重的犯罪：例如，如果犯罪嫌疑人在逃跑过程中驾驶机动车冲撞警车或其他执行公务的车辆，造成严重后果的，可能构成以危险方法危害公共安全罪等其他严重犯罪。

3. 逃跑后的相关情况：

   • 逃跑后继续实施犯罪：如果犯罪嫌疑人在逃跑后继续实施其他犯罪行为，如再次盗窃、抢劫等，那么将根据其实施的具体犯罪行为进行定罪量刑。
   • 逃跑后自首或被抓获：如果犯罪嫌疑人在逃跑后主动向公安机关投案自首，或者被公安机关抓获，那么其逃跑行为将作为量刑时的考虑因素之一。自首通常可以作为从轻或减轻处罚的情节。

法律建议：

• 对于犯罪嫌疑人而言，逃跑并不是解决问题的办法。相反，它可能使问题变得更加复杂和严重。如果涉嫌犯罪，最好的做法是主动向公安机关投案自首，并如实供述自己的罪行。
• 对于公众而言，如果发现犯罪嫌疑人逃跑，应及时向公安机关报案，并提供相关线索，以便公安机关尽快将其抓获归案。

可能的法律后果：

• 根据犯罪嫌疑人逃跑前的行为性质及逃跑后的相关情况，其可能面临不同的法律后果。轻则作为原犯罪行的从重情节考虑，重则可能构成新的犯罪并面临更严厉的刑罚。

总结与提醒：

• 刑事犯罪嫌疑人一看警方到来便逃跑，其法律后果取决于多种因素。因此，无法一概而论其具体构成什么罪。
• 如果有任何法律问题或疑虑，建议直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。