再审被驳回诉讼请求后，当事人原则上应向作出生效裁判的人民法院的同级人民检察院申请抗诉。不过，具体应向哪一级检察院申请抗诉，还需结合案件的具体情况和当地的司法实践来确定。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、基本原则与结论
同级申请原则：
- 一般情况下，当事人应向作出生效裁判的人民法院的同级人民检察院申请抗诉。这是基于法律监督的层级对应原则，即同级检察院对同级法院的裁判进行监督。
实践中的灵活性：
- 尽管有同级申请的原则，但在实际操作中，也可能存在向上一级检察院申请的情况。这主要取决于案件的复杂性、影响范围以及当地司法实践的具体做法。例如，对于基层法院生效的裁判，虽然理论上应向基层检察院申请，但实践中多是由当事人向其上一级检察院（市级检察院）申请。
二、具体申请流程与注意事项
确定申请对象：
- 基层法院生效裁判：一般可向基层检察院申请，但实践中多向市级检察院申请。
- 中级法院生效裁判：向市级人民检察院申请抗诉；也有观点认为，对于某些重大或复杂的案件，可直接向省级人民检察院申请。
- 高级法院生效裁判：向省级人民检察院申请抗诉；对于特别重大或具有全国影响的案件，也有观点认为可向最高人民检察院申请。
准备申请材料：
- 当事人应准备充分的证据材料和相关法律依据，以证明原生效裁判可能存在错误。这些材料应包括再审申请书、驳回裁定文书、相关证据材料等，以支持其抗诉申请。
了解审查期限与条件：
- 人民检察院应在三个月内对抗诉申请进行审查。如果认为再审判决、裁定确有错误，或者人民法院在再审过程中存在违法行为，人民检察院可以向同级人民法院提出检察建议或者直接提出抗诉。
- 申请抗诉需要满足一定的条件，如再审申请已经被法院驳回、人民法院逾期未对再审申请作出裁定，或者再审判决、裁定仍有错误等。
注意抗诉期限：
- 虽然法律没有明确规定申请抗诉的期限，但通常建议当事人在接到驳回裁定之日起六个月内提出抗诉申请。具体的时间规定可能会因地区、案件类型等因素而异，因此当事人应尽早咨询并准备申请材料。
三、实践中的建议
充分准备申请材料：
- 当事人应确保申请材料的真实性和合法性，并尽可能提供充分的证据来支持其抗诉申请。这有助于提高抗诉申请的成功率。
了解当地司法实践：
- 由于地区和案件类型的差异，具体的抗诉申请流程可能会有所不同。因此，当事人在决定申请抗诉前，应仔细研究当地的司法实践和相关法律法规。
及时咨询与申请：
- 当事人应在接到驳回裁定后尽快咨询并准备申请材料，以免错过最佳的申请时机。同时，他们也应关注抗诉申请的审查进度，及时与检察院沟通并补充材料。
总结来说，再审被驳回诉讼请求后，当事人应向作出生效裁判的人民法院的同级人民检察院申请抗诉，但具体申请对象可能因案件情况和当地司法实践而有所不同。在申请过程中，当事人应充分准备申请材料、了解审查期限与条件，并注意抗诉期限的限制。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。