再审申请被驳回后，当事人应向哪一级检察院申请民事抗诉，这个问题取决于原审法院的级别。以下是根据不同原审法院级别给出的具体指引：

1. 原审法院为基层人民法院：

   • 当事人应当向上一级人民检察院，即市级检察院申请民事抗诉。

2. 原审法院为中级人民法院：

   • 当事人应当向省级检察院申请民事抗诉。

3. 原审法院为高级人民法院：

   • 当事人既可以向最高人民检察院申请，也可以向省级检察院申请民事抗诉。

这一流程的依据在于《人民检察院民事诉讼监督规则(2021)》的相关规定，即人民法院裁定驳回再审申请后，当事人向人民检察院申请监督的，由作出原生效民事判决、裁定、调解书的人民法院所在地同级人民检察院受理。因此，在申请民事抗诉时，需根据原审法院的级别来确定向哪一级检察院提出申请。

需要注意的是，检察院在收到申请后，会对申请进行严格的审查，综合考虑原审裁判的合法性、合理性、当事人的诉求是否合理以及是否存在明显的错误等因素。只有当检察院认为申请符合抗诉条件时，才会依法提出抗诉，从而启动再审程序。然而，申请抗诉并不必然能够启动再审，检察院会根据具体情况进行全面、客观的判断和决定。