结论：员工上班睡觉是否可以被开除以及部门负责人是否有权罚款，需根据具体情况和公司规章制度来判断。一般来说，上班睡觉可能构成违纪，但直接开除可能过于严厉；而部门负责人是否有权罚款，则取决于公司是否赋予了此项权力以及罚款的合法性。
分析：
关于开除：
- 违纪行为：员工上班睡觉确实可能违反了公司的规章制度或劳动纪律，属于违纪行为。
- 开除的合理性：然而，是否可以直接开除员工，需要看公司规章制度的具体规定以及违纪行为的严重程度。如果公司规章制度中明确规定了上班睡觉属于严重违纪行为，且可以开除，那么公司有权据此开除员工。但如果规章制度中未明确规定，或者规定较为模糊，那么直接开除可能过于严厉，甚至可能构成违法解除劳动合同。
- 法律后果：如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。
关于罚款：
- 部门负责人的权力：部门负责人是否有权对员工进行罚款，这取决于公司是否赋予了部门负责人此项权力，并且该权力是否在公司规章制度中有明确规定。
- 罚款的合法性：即使公司规章制度中规定了罚款，也需要确保罚款的合法性。根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，用人单位不得随意对员工进行罚款，除非员工的行为给公司造成了实际损失，并且罚款的金额需要合理。
- 实际操作：在实际操作中，即使公司规章制度中规定了罚款，部门负责人也应谨慎行使此项权力，避免引发劳动争议。
建议：
- 对于公司：应制定明确、合理的规章制度，明确违纪行为的种类和相应的处罚措施，确保规章制度的合法性和有效性。同时，在处理违纪员工时，应遵循公平、公正、公开的原则，避免滥用权力。
- 对于部门负责人：在处理员工违纪行为时，应首先了解公司规章制度的具体规定，确保自己的行为合法合规。如果需要对员工进行处罚，应与公司人力资源部门或法务部门沟通，确保处罚的合理性和合法性。
- 对于员工：如果认为公司的处罚不合理或违法，可以与公司进行沟通协商，或者向劳动监察部门投诉举报，维护自己的合法权益。
后续行动：如果您或您的公司面临类似问题，建议详细查阅公司规章制度，并咨询专业法律人士以获取更具体的法律建议。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的解答。