结论：在复议机关要求行政机关重新作出处理期间，申请人一般不能直接提起行政诉讼，但存在特定情形下可以在复议期满后或对重新处理决定不服时提起诉讼。
详细分析：
一般原则：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》和《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议和行政诉讼是解决行政争议的两种重要途径，但它们各自有着独特的程序和要求。在行政复议期间，特别是当复议机关要求行政机关重新作出处理时，这通常意味着复议程序尚未终结，因此，申请人一般不能直接向人民法院提起行政诉讼。这是为了避免行政复议程序和行政诉讼程序之间的不必要冲突和资源浪费，确保行政救济途径的有序进行。
特定情形下的诉讼权利：
- 复议机关逾期不作决定或重新处理决定不服：如果复议机关在法定期限内未作出决定，或者申请人对复议机关要求行政机关重新作出的处理决定不服，申请人则有权在复议期满之日起十五日内，或者对重新处理决定不服之日起十五日内，向人民法院提起诉讼。这是为了保障申请人的合法权益，防止因行政复议机关的拖延或不当处理而导致救济途径的阻塞。
- 法律另有规定的情形：如果法律另有规定可以直接提起诉讼的，申请人则无需先经过行政复议或等待复议机关重新作出处理，可以直接向人民法院提起行政诉讼。这通常适用于那些法律特别规定可以直接诉讼的情况，但这种情况在行政复议要求重新处理的情境下较为罕见。
行政复议与行政诉讼的衔接：
- 行政复议并非行政诉讼的前置程序，但在某些特定情况下，如涉及自然资源所有权或使用权的确认、征收征用决定及其补偿决定等，法律可能规定必须先经过行政复议才能提起行政诉讼。然而，在复议机关要求行政机关重新作出处理的期间，这并不构成提起行政诉讼的障碍，除非法律另有特别规定。
法律建议：
- 了解并遵守法定程序：在处理行政争议时，申请人应首先了解并遵守相关的法律规定，确保按照正确的程序和期限来寻求救济。
- 及时行使诉讼权利：如果复议机关逾期不作决定或申请人对重新处理决定不服，应及时在法定期限内提起行政诉讼，以免错过诉讼时效。
- 咨询专业法律人士：由于行政复议和行政诉讼涉及复杂的法律程序和规定，建议申请人在处理相关争议时咨询专业法律人士，以确保自身权益得到有效保护。
举例说明：
假设某公民对某行政机关的行政处罚决定不服，申请了行政复议。复议机关在审查后认为原处罚决定不当，要求原行政机关重新作出处理。在重新处理期间，该公民一般不能直接提起行政诉讼。但如果复议机关逾期未作出决定，或者该公民对重新作出的处理决定仍不服，他则可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。