结论前置：分公司在符合法定情形、获得必要授权，并严格履行法定程序的前提下，可以开除员工。但需注意，分公司的行为可能最终需由总公司承担责任。以下是对这一结论的详细分析：
一、分公司的法律地位与开除员工的权利
分公司作为总公司的分支机构，其法律地位及开除员工的权利取决于是否依法取得营业执照或登记证书：
具有用人单位主体资格：若分公司依法取得了营业执照或登记证书，则视为具有独立的用人单位主体资格，有权以自己的名义与劳动者订立、履行、变更、解除或终止劳动合同，包括开除员工。
无独立用人单位主体资格：若分公司未依法取得营业执照或登记证书，则不具有独立的用人单位主体资格。此时，分公司需在总公司明确授权范围内开展活动，包括与劳动者解除劳动合同。未经授权，分公司不得擅自开除员工。
二、开除员工的条件与程序
分公司开除员工必须遵循《劳动合同法》的相关规定，确保合法合规：
法定情形：如劳动者严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任等，分公司可依据法律规定开除员工。
法定程序：开除员工前，分公司应提前通知劳动者，出具解除证明，并按规定支付经济补偿金（如适用）。确保程序合法，避免法律风险。例如，若因员工严重违反规章制度而开除，应确保规章制度已经过民主程序制定并公示，且员工确实存在违规行为。
三、分公司开除员工的责任归属
由于分公司不具有独立的法人资格，其民事责任最终由总公司承担。因此，在开除员工过程中，分公司应谨慎评估法律风险，确保合规操作，以避免给总公司带来不必要的法律纠纷和经济损失。若分公司未经授权或违反法定程序开除员工，总公司可能需承担相应的法律责任，如恢复劳动关系、支付赔偿金等。
四、特殊情形的处理
分公司注销或解散：若分公司出现被吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散等情形，可根据《劳动合同法》的规定单方终止劳动合同，并支付经济补偿金。此情况下不属于违法解除。
总公司责任：若分公司注销或解散后，总公司不履行与劳动者的劳动合同且未经协商单方终止劳动合同的，则可能构成违法解除。总公司需承担相应的法律责任，包括支付赔偿金等。
五、建议与注意事项
完善规章制度：分公司应建立健全规章制度，明确开除员工的条件和程序，确保合规操作。
获得总公司授权：若分公司无独立用人单位主体资格，应确保获得总公司的明确授权后再开除员工。
保留证据：在开除员工过程中，分公司应保留相关证据，如违规记录、通知记录等，以备不时之需。
咨询法律意见：在处理复杂的劳动关系问题时，分公司可向我咨询法律意见，以确保所有操作都合法合规。
综上所述，分公司在开除员工时应充分考虑自身的法律地位、授权情况、法定条件与程序以及责任归属等因素。确保在合法合规的前提下进行操作，以维护企业与劳动者的合法权益。若您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。