在付款合同中约定承担连带付款责任的第三方，若需追究其责任，可按照以下步骤进行，我将核心结论前置并分情况说明：
确认连带责任条款的有效性
- 审查合同条款：首先，需仔细审查付款合同中关于第三方承担连带付款责任的条款，确认该条款是否明确、具体，且不存在违反法律、行政法规的强制性规定或公序良俗的情形。若条款有效，则第三方需按照约定承担连带付款责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，连带责任保证的债务人在主合同规定的债务履行期届满没有履行债务的，债权人可以要求债务人履行债务，也可以要求保证人在其保证范围内承担保证责任。
收集证据
- 合同证据：收集并保存好付款合同原件，以及任何与合同修改、补充相关的书面文件，以证明第三方确实承担了连带付款责任。
- 履行证据：收集证明主债务人未履行付款义务的证据，如催款通知、付款记录、未付款证明等。
- 第三方知情证据：如有必要，还需收集证明第三方对主债务人的债务情况知情的证据，以增强追究其连带责任的合理性。
选择追究方式
- 协商：在正式采取法律行动前，可以尝试与第三方进行协商，要求其履行连带付款责任。协商过程中，可以明确告知其不履行责任的后果，包括可能面临的法律诉讼和信用损失等。
- 诉讼：若协商无果，可以向人民法院提起诉讼，要求第三方承担连带付款责任。在诉讼过程中，需提交上述收集的证据，以支持自己的主张。
- 仲裁：如果合同中约定了仲裁条款，且该条款有效，则可以选择向约定的仲裁机构申请仲裁，要求第三方承担连带付款责任。
执行判决或裁决
- 申请执行：若获得胜诉判决或仲裁裁决，且第三方未在规定期限内履行付款义务，可以向人民法院申请强制执行。
- 执行措施：在执行过程中，人民法院可以采取多种措施，如查封、扣押、冻结第三方的财产，以强制其履行付款义务。
特殊情况说明：
- 第三方抗辩：在追究第三方连带责任的过程中，第三方可能会提出抗辩，如主张合同条款无效、已履行付款义务、存在免责事由等。此时，需根据具体情况提供反驳证据，以维护自己的合法权益。
- 诉讼时效：需注意诉讼时效的问题。根据法律规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年。因此，在发现第三方未履行连带付款责任后，应及时采取法律行动，以免超过诉讼时效期间而丧失胜诉权。
在追究付款合同中约定承担连带付款责任的第三方时，需确认连带责任条款的有效性、收集充分证据、选择合适的追究方式，并在获得胜诉判决或仲裁裁决后及时申请执行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。