在付款期限届满后，第三人签字提供连带责任担保的，可通过以下方式确立担保，且担保自签字或盖章时成立并生效：

1. 明确担保的意思表示
   第三人需以书面形式明确表示愿意承担连带责任担保，例如在主合同（如借款合同、买卖合同）的担保条款中签字，或单独签署《担保函》《保证合同》等文件。
   关键点：担保意思必须清晰，避免使用模糊表述（如“帮忙催款”“见证”等），否则可能被认定为非担保意思表示。

2. 担保合同的形式要求
   根据《民法典》第685条，担保合同可以是：

   • 单独订立的书面合同；
     
   • 主债权债务合同中的担保条款。
     注意：若主合同已成立，第三人后续签字补充担保的，需确保担保条款或合同独立成文，或明确载入原合同并签字确认。

3. 担保内容的合法性

   • 担保范围需明确（如本金、利息、违约金等），未约定的按法定范围处理；
     
   • 担保期限需符合法律规定（未约定的，为主债务履行期届满之日起6个月）；
     
   • 不得违反法律强制性规定（如禁止流通物担保、违法债务担保等）。

4. 签字或盖章的效力

   • 第三人需在担保文件上签字或盖章，自然人签字需与身份证一致，法人需加盖公章或合同专用章；
     
   • 若第三人为无民事行为能力人/限制民事行为能力人，或签字被胁迫、欺诈，担保可能无效。

5. 主债务合法性对担保的影响
   若主债务因违法（如赌博债务）或无效（如恶意串通损害他人利益），担保合同通常也随之无效，但第三人可能需根据过错承担赔偿责任。

实务建议：

• 要求第三人提供身份证明、财产证明（如房产证、银行流水），评估担保能力；
  
• 在担保合同中明确约定“连带责任保证”，并注明担保范围、期限；
  
• 必要时办理抵押/质押登记（如以房产、车辆担保），增强担保效力。
  

如有具体合同或场景需要分析，可直接向我提供细节，我会进一步结合法律条文和案例为你解答。