结论：养老机构老人烫伤后，是否可以处罚员工以及处罚是否合法，需根据具体情况来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、员工责任与处罚的合法性
员工过错与责任：
- 如果员工在照顾老人过程中存在疏忽、过失或故意行为，导致老人烫伤，那么员工应当承担相应的责任。
- 责任的承担方式可能包括警告、罚款、解雇等，具体取决于养老机构的规章制度以及员工行为的严重程度。
处罚的合法性：
- 养老机构对员工的处罚必须合法合规，不能违反劳动法律法规的规定。
- 处罚应当基于事实，有充分的证据支持，且处罚措施应当与员工的过错程度相适应。
- 如果养老机构没有合法的规章制度作为处罚依据，或者处罚措施过于严厉、不合理，那么处罚可能是不合法的。
二、养老机构的管理责任
安全保障义务：
- 养老机构作为养老服务提供方，对老人负有安全保障义务。
- 如果老人烫伤是由于养老机构的管理不善、设施缺陷或未尽到安全保障义务导致的，那么养老机构应当承担相应的赔偿责任。
内部管理规定：
- 养老机构应当制定完善的内部管理规定，明确员工在照顾老人过程中的职责和行为规范。
- 如果员工违反了这些规定，导致老人烫伤，养老机构可以根据规定对员工进行处罚。但处罚必须合法合规，且应当与员工的过错程度相适应。
三、法律后果与建议
法律后果：
- 如果养老机构对员工的处罚不合法，员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 如果老人烫伤是由于养老机构或员工的过错导致的，老人或其家属有权要求养老机构承担赔偿责任。
建议：
- 养老机构应当加强员工培训，提高员工的安全意识和照顾技能，减少类似事件的发生。
- 养老机构应当制定合法合规的规章制度，明确员工的职责和行为规范，以及处罚措施和程序。
- 在发生老人烫伤等事件时，养老机构应当及时采取措施救治老人，并调查事件原因，根据调查结果对责任人进行合法合规的处罚。
举例说明：假设某养老机构的一名员工在照顾老人时，由于疏忽大意导致老人烫伤。养老机构根据内部管理规定，对该员工进行了警告和罚款的处罚。如果这一处罚是基于事实、有充分证据支持，且处罚措施与员工的过错程度相适应，同时养老机构的规章制度也是合法合规的，那么这一处罚就是合法的。反之，如果处罚缺乏事实依据、过于严厉或不合理，或者养老机构的规章制度本身就不合法合规，那么这一处罚就是不合法的。
总结：养老机构老人烫伤后，是否可以处罚员工以及处罚是否合法，需根据具体情况来判断。养老机构应当加强员工培训和管理，制定合法合规的规章制度，并在发生类似事件时及时采取措施救治老人并调查事件原因，根据调查结果对责任人进行合法合规的处罚。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。