结论：孩子在学校托管期间自己意外摔断门牙，责任归属需根据具体情况判断，可能涉及托管机构、孩子自身或第三方等多方责任。以下从不同角度详细分析：
一、托管机构的责任
安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，教育机构（包括托管机构）对在其场所内接受教育、管理的未成年人负有安全保障义务。这包括提供安全的学习、生活环境，预防和消除潜在的危险。
- 如果托管机构未能尽到上述安全保障义务，如地面湿滑未及时清理、设施存在安全隐患等，导致孩子摔倒受伤，那么托管机构应承担相应的赔偿责任。
教育、管理职责：
- 托管机构除了提供安全的环境外，还应对孩子进行必要的安全教育和管理。如果机构未尽到教育、管理职责，如未对孩子进行安全教育、未在危险区域设置警示标志等，也可能被认定为存在过错，需承担一定责任。
二、孩子自身的责任
年龄与认知能力：
- 如果孩子年龄较大，具备一定的认知能力和自我保护意识，那么其自身在摔倒过程中可能存在一定的过错。例如，孩子可能因奔跑、打闹等不当行为导致摔倒。
- 在这种情况下，孩子自身可能需要承担一部分责任，但具体比例需根据孩子的年龄、认知能力以及摔倒的具体情况来判断。
意外事件：
- 如果摔倒事件完全属于意外，如孩子因突然失去平衡而摔倒，且托管机构已尽到安全保障义务和教育、管理职责，那么孩子自身可能需要承担主要或全部责任。但这种情况较为少见，且需具体分析。
三、第三方的责任
- 如果摔倒事件是由第三方（如其他孩子、托管机构工作人员等）的行为导致的，那么第三方应承担相应的赔偿责任。例如，其他孩子故意推搡导致孩子摔倒受伤，那么推搡的孩子及其监护人应承担赔偿责任。
四、责任划分的具体建议
收集证据：
- 在发生摔倒事件后，家长应及时收集相关证据，如现场照片、视频、医疗记录等，以证明摔倒的事实和原因。
与托管机构协商：
- 家长可以与托管机构进行协商，就责任划分和赔偿事宜达成一致意见。如果协商不成，可以考虑通过法律途径解决。
寻求法律援助：
- 如果家长对责任划分和赔偿事宜存在疑问或争议，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
总结与进一步思考：孩子在学校托管期间自己意外摔断门牙的责任归属需根据具体情况判断。家长在处理此类事件时，应保持冷静，及时收集证据，并与托管机构进行协商。如果协商不成或存在争议，可以寻求法律援助以维护自身权益。同时，家长也应加强对孩子的安全教育，提高孩子的自我保护意识，减少类似事件的发生。