结论：新进来的员工工作半年后请长假被辞退是否有补偿，需根据请假性质、公司规章制度及辞退理由综合判断。以下分情况详细说明：
1. 请假性质为法定假期或合理事假
- 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，员工严重违反公司规章制度或严重失职造成重大损害的，公司可解除劳动合同且无需补偿。但若请假属于法定假期（如病假、产假、婚假等）或经公司批准的合理事假，公司不得以此为由辞退员工。
- 补偿情况：
- 若公司违法辞退（如无合法理由或未履行法定程序），员工可主张经济赔偿金，计算公式为：
$\(
经济赔偿金 = 2 \times 月工资 \times 0.5 \text{（工作半年按0.5年计算）}
\)$
即赔偿1个月工资。
- 若公司合法辞退（如员工严重违纪），则无需补偿。
2. 请假性质为旷工或未获批准的长期缺勤
- 法律依据：若员工未经批准擅自离岗，且公司规章制度明确规定旷工达到一定天数可解除劳动合同（如连续旷工3天或累计旷工5天），公司可依法辞退且无需补偿。
- 补偿情况：
- 若公司规章制度合法有效且已向员工公示，员工因旷工被辞退的，无经济补偿。
- 若公司规章制度未公示或程序违法（如未通知工会），员工可主张违法解除赔偿金（同上公式计算）。
3. 公司以“经营困难”或“客观情况重大变化”为由辞退
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四十条，公司因客观情况重大变化（如业务调整、部门撤销）需裁员的，应提前30日书面通知或支付代通知金，并支付经济补偿。
- 补偿情况：
- 经济补偿金计算公式为：
$\(
经济补偿金 = 月工资 \times 0.5 \text{（工作半年按0.5年计算）}
\)$
即补偿0.5个月工资。
- 若公司未履行法定程序（如未协商、未通知工会），员工可主张违法解除赔偿金（1个月工资）。
4. 员工处于医疗期或工伤停工留薪期
- 法律依据：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工在医疗期内，公司不得解除劳动合同。若员工因工伤停工留薪，公司同样不得辞退。
- 补偿情况：
- 若公司违法辞退，员工可主张赔偿金（1个月工资）及医疗期工资或工伤待遇。
行动建议
- 核实请假性质：确认请假是否符合公司规章制度或法定标准，保留请假记录（如邮件、审批单）。
- 审查辞退理由：要求公司出具书面辞退通知，明确理由及依据。
- 协商或仲裁：若认为公司违法辞退，可先协商补偿；协商不成，可在1年内申请劳动仲裁，主张赔偿金或补偿金。
提示：劳动争议案件中，证据是关键。建议尽快收集劳动合同、工资条、请假记录、辞退通知等材料，以便后续维权。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。