核心结论：针对您分期购买的手机被他人卖掉这一情况，您可以通过民事途径要求对方赔偿损失，若对方行为涉嫌犯罪，还可向公安机关报案追究其刑事责任。以下从民事和刑事两个角度为您详细分析：
民事角度
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》相关规定，所有权人对自己的不动产或者动产，依法享有占有、使用、收益和处分的权利。您分期购买的手机，在您支付完所有款项并完成相关手续后，您就是该手机的合法所有权人。他人未经您同意将手机卖掉，侵犯了您的所有权，属于侵权行为。
- 处理方式：
- 协商解决：您可以先尝试与卖掉手机的人进行协商，要求其返还手机或者赔偿您因手机被卖而遭受的损失。损失的计算可以包括手机的购买价格、分期付款产生的利息等。例如，您购买手机花费了5000元，分12期付款，每期利息50元，已经支付了6期，那么您可以要求对方赔偿剩余未支付的款项以及已支付利息等合理损失。
- 提起民事诉讼：如果协商无果，您可以向法院提起民事诉讼，以侵权为由要求对方承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提供相关证据证明您是手机的合法所有权人，如购买合同、分期付款记录等，以及证明对方实施了侵权行为，如交易记录、证人证言等。法院会根据您提供的证据和法律规定，判决对方承担相应的赔偿责任。
刑事角度
- 涉嫌罪名：如果对方卖掉手机的行为情节严重，可能涉嫌构成盗窃罪或侵占罪。
- 盗窃罪：如果对方是以非法占有为目的，秘密窃取您的手机后卖掉，且手机价值达到当地盗窃罪的立案标准（一般为一千元至三千元以上），那么对方的行为就构成盗窃罪。例如，您将手机放在宿舍的桌子上，对方趁您不在时将手机拿走并卖掉，这种行为就符合盗窃罪的构成要件。
- 侵占罪：如果对方是基于某种合法原因先占有了您的手机，如您将手机借给对方使用，但对方却将手机非法占为己有并卖掉，且拒不归还，手机价值达到当地侵占罪的立案标准（一般为一万元以上），那么对方的行为就构成侵占罪。不过，侵占罪是告诉才处理的案件，需要您自行向法院提起刑事自诉。
- 处理方式：如果您认为对方的行为涉嫌犯罪，您可以向公安机关报案。公安机关会进行调查取证，如果认为符合立案条件，会依法立案侦查。在刑事诉讼过程中，您作为被害人可以配合公安机关的调查，提供相关证据，同时也可以提起附带民事诉讼，要求对方赔偿您的经济损失。
建议：您可以先收集相关证据，如购买凭证、分期付款记录、与对方的沟通记录等，然后根据具体情况选择合适的处理方式。如果对法律程序不太熟悉，也可以随时向我咨询，我会为您提供详细的法律指导。