关于您提出的“父母留下的公租房是否可以按遗产继承”的问题，这是一个涉及公租房性质和继承权法律规定的复杂问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、公租房的性质与继承权
公租房，即公共租赁住房，是由政府或公共机构所有，旨在以低于市场价或承租者能承受的价格，向新就业职工等特定群体出租的保障性住房。其核心特点是产权不属于个人，而是归政府或公共机构所有。承租人对公租房仅享有承租权（使用权），并不具备所有权。
根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产。由于公租房并非承租人的个人财产，因此它不属于遗产的范畴，也就不存在直接继承的问题。子女不能像继承父母的房产等个人财产那样，直接继承公租房。
二、子女继续承租的条件与流程
尽管公租房不能作为遗产继承，但在符合一定条件下，子女或共同居住人可以申请继续承租该公租房。这通常要求满足以下条件：
如果子女希望继续承租父母生前的公租房，应及时向当地负责公租房管理的相关部门咨询详细信息，并按要求准备和提交相关材料申请办理续租手续。各地对于公租房续租的具体条件和办理流程可能存在差异，因此咨询当地部门是获取准确信息的最佳途径。
三、特殊情况处理
若不存在共同居住人，子女需按公租房管理部门规定的程序重新申请公租房。这通常涉及提交申请材料、接受审核等步骤。只有经审核其自身符合公租房申请条件后，子女才有可能获得新的公租房租赁资格。
四、法律依据与支持
《公共租赁住房管理办法》以及《民法典》中的相关规定为符合条件的共同居住人继续承租公租房提供了法律依据。这些法规明确了承租人在租赁期限内死亡后，共同申请人符合公共租赁住房申请条件的，可按规定向原申请所在地住房保障主管部门申请续租。
综上所述，公租房由于其特殊的性质和产权归属，不能作为遗产被继承。但在特定条件下，符合条件的子女或共同居住人可以依法申请继续承租该公租房。如果您对此有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询当地公租房管理部门或专业律师。