结论：在对方全责且保险为统筹的情况下，您可以直接起诉司机本人、司机所属公司，但具体是否将二者都列为被告，需结合实际情况判断，以下分情况详细说明。

情况一：司机因执行工作任务造成事故

1. 法律依据：根据《民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。
2. 起诉对象选择：如果事故是司机在执行工作任务过程中发生的，比如司机是在为公司送货途中发生交通事故且负全责，此时您可以将司机所属公司作为被告起诉。因为公司作为用人单位，要为其工作人员执行工作任务时的侵权行为承担责任。不过，在某些情况下，为了更好地保障自身权益，您也可以同时将司机本人和其所属公司列为共同被告。虽然最终责任可能主要由公司承担，但将司机列为被告可以在一些特殊情况下，比如公司偿付能力不足时，增加获得赔偿的可能性。

情况二：司机非因执行工作任务造成事故

1. 法律依据：在这种情况下，司机本人是直接的侵权行为人，应当承担侵权责任。根据《民法典》第一千一百六十五条规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
2. 起诉对象选择：如果事故并非司机执行工作任务导致，例如司机是在下班后私自驾车外出发生事故且负全责，那么您可以直接起诉司机本人，要求其承担赔偿责任。如果司机所属公司对事故的发生存在过错，比如公司明知司机存在不适合驾驶的情形（如醉酒、疲劳等）仍安排其驾驶车辆，那么您也可以将公司列为共同被告，要求公司承担相应的过错责任。

关于统筹保险的影响

统筹保险并非传统意义上的商业保险，它通常是由一些企业或行业自行组织的互助性质的资金安排。在诉讼中，统筹保险的赔付情况可能会对案件的审理和赔偿产生影响。如果统筹保险能够足额赔付您的损失，那么在起诉时可以将统筹保险的相关情况作为证据提交，要求被告按照保险赔付情况进行赔偿。如果统筹保险赔付不足，您仍然可以要求被告承担剩余的赔偿责任。

建议：在起诉前，建议您收集好相关的证据，如交通事故责任认定书、医疗费用发票、误工证明等，以证明您的损失和对方的责任。如果您对具体的诉讼程序和证据收集有疑问，可以随时向我咨询，我会为您提供详细的指导。