结论前置：老板不可以不管受伤的护工，即使没有签订用工合同，护工与敬老院之间仍可能构成事实劳动关系，护工在工作中受伤，有权享受工伤保险待遇，老板应承担相应的赔偿责任。
详细分析：
事实劳动关系的认定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使未签订书面劳动合同，只要双方实际履行了劳动权利和义务，就构成了事实劳动关系。
- 在您描述的情况中，护工在敬老院工作，接受敬老院的管理，从事敬老院安排的工作任务，并领取劳动报酬，这完全符合事实劳动关系的构成要件。
工伤保险待遇的享受：
- 一旦认定存在事实劳动关系，护工在工作中受伤就应被视为工伤，有权享受工伤保险待遇。
- 工伤保险待遇包括医疗费用、康复费用、停工留薪期间的工资福利、伤残津贴、一次性伤残补助金等，具体待遇根据伤残等级和当地规定而定。
老板的责任：
- 作为用人单位，敬老院（或老板）有义务为护工缴纳工伤保险费。如果未缴纳，一旦发生工伤，所有工伤保险待遇将由用人单位承担。
- 此外，如果老板拒绝承担赔偿责任，护工可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径维护自己的合法权益。
未签合同的法律后果：
- 未签订书面劳动合同，用人单位可能面临支付双倍工资、经济补偿金等法律责任。但这并不影响工伤的认定和赔偿责任的承担。
- 护工可以依据相关法律法规，要求老板支付未签合同期间的双倍工资差额（如果符合条件的话），但这与工伤赔偿是两个独立的法律关系。
建议行动：
- 收集证据：护工应尽快收集能够证明与敬老院存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资条、工作记录、同事证言等。
- 申请工伤认定：向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，这是享受工伤保险待遇的前提。
- 协商或诉讼：如果老板拒绝承担赔偿责任，护工可以与老板协商解决，或者通过劳动仲裁、诉讼等法律途径维护自己的权益。
可能遇到的法律后果：
- 如果护工能够成功认定工伤并享受工伤保险待遇，老板将需要承担相应的赔偿责任。
- 如果老板拒绝履行赔偿责任，可能会面临法律制裁，包括被强制执行、支付滞纳金或罚款等。
总结：老板不可以因为未签订用工合同就拒绝承担护工受伤后的赔偿责任。护工应积极收集证据，申请工伤认定，并通过法律途径维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。