结论：根据您描述的情况，房子最终归谁需结合协议的具体内容、是否符合法律规定以及大姐是否履行了照顾义务等多方面因素综合判断。以下从不同角度为您详细分析：

一、协议的法律效力

1. 协议内容合法有效：如果母亲生前所写的协议内容明确、具体，且是母亲真实意思的表示，同时不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么这份协议是具有法律效力的。在协议中，母亲明确表示房子归大姐所有，且大姐负责生病时的照顾，这可以视为一种附条件的赠与或遗嘱安排。

2. 协议可能存在的瑕疵：如果协议存在内容模糊、意思表示不真实、违反法律强制性规定或公序良俗等情形，那么协议可能部分或全部无效。例如，如果协议是在母亲受胁迫或欺诈的情况下签订的，那么协议无效。

二、大姐是否履行照顾义务

1. 已履行照顾义务：如果大姐在母亲生病期间确实履行了照顾义务，且这一义务是协议中明确约定的，那么根据协议的约定，大姐有权获得房子的所有权。

2. 未履行照顾义务：如果大姐没有履行照顾义务，或者履行照顾义务不符合协议中的约定，那么其他姐妹可以主张大姐不满足获得房子的条件，从而要求重新分配房产或采取其他法律措施。

三、其他姐妹的权利与救济

1. 协商解决：在协议存在争议或大姐未履行照顾义务的情况下，其他姐妹可以首先尝试与大姐进行协商，寻求和解或达成新的分配方案。

2. 法律途径：如果协商无果，其他姐妹可以向人民法院提起诉讼，请求确认协议的效力、撤销协议或要求重新分配房产。在诉讼过程中，法院将根据协议的具体内容、大姐是否履行照顾义务以及相关法律法规进行裁决。

四、法律建议

1. 审查协议：首先，建议仔细审查母亲生前所写的协议，确保协议内容明确、具体，且符合法律规定。如果协议存在瑕疵或不明确之处，应及时咨询专业律师进行修正或补充。

2. 收集证据：如果大姐未履行照顾义务或履行不符合约定，其他姐妹应收集相关证据，如医疗记录、证人证言等，以证明大姐未履行义务或履行不符合约定。

3. 寻求法律帮助：在处理此类纠纷时，建议寻求专业律师的帮助。律师可以根据具体情况提供法律意见、协助收集证据、参与协商或诉讼等，以维护您的合法权益。

最后，房产纠纷往往涉及复杂的法律关系和情感因素，因此处理起来需要谨慎和耐心。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。