公司确实有权向医院核实员工因抑郁症请长期病休的病假真实性。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

法律背景与依据

1. 《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》：该规定明确了企业职工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定期限的医疗期。在医疗期内，企业不得随意解除劳动合同。然而，这并不意味着员工可以随意提供虚假的病假证明。企业有权对病假的真实性进行核实。

2. 《劳动合同法》及相关规定：虽然劳动合同法没有直接规定企业可以核实病假真实性的权利，但根据诚信原则和劳动合同的履行要求，企业有权确保员工提供的病假证明是真实有效的。如果员工提供虚假病假证明，企业有权依据规章制度进行处理，甚至解除劳动合同。

公司核实病假真实性的方式

1. 直接联系医院：公司可以通过正规渠道（如医院官方网站、客服电话等）联系开具病假证明的医院，核实病假证明的真实性。在联系时，公司应提供员工的姓名、身份证号码、病假证明编号等信息，以便医院进行核实。

2. 要求员工提供额外证明：如果公司对病假证明的真实性存在疑虑，可以要求员工提供额外的证明材料，如诊断证明、治疗记录、用药清单等。这些材料可以帮助公司更全面地了解员工的病情和治疗情况。

员工应对建议

1. 提供真实有效的病假证明：员工在请病假时，应确保提供的病假证明是真实有效的。如果病假证明是虚假的，一旦被公司发现，不仅可能面临纪律处分，还可能影响个人的职业声誉和未来的就业机会。

2. 配合公司的核实工作：如果公司要求核实病假证明的真实性，员工应积极配合。这包括提供必要的个人信息和额外证明材料，以及回答公司可能提出的关于病情和治疗情况的问题。

可能的法律后果

1. 如果病假证明真实有效：公司核实后确认病假证明真实有效，员工应继续享受医疗期内的相关待遇，如工资支付、社会保险缴纳等。

2. 如果病假证明虚假：一旦公司发现病假证明是虚假的，公司有权依据规章制度进行处理。这可能包括警告、罚款、解除劳动合同等。同时，员工还可能面临法律责任，如因欺诈行为被追究民事责任或刑事责任（在情节严重的情况下）。

总结与建议：公司有权向医院核实员工因抑郁症请长期病休的病假真实性。员工在请病假时应确保提供的病假证明真实有效，并积极配合公司的核实工作。如果遇到任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。