在工伤职工被鉴定为一级伤残后不幸去世的情况下，其家属能享受的补助主要依据具体情况来确定，但通常可以归纳为以下几类重要的经济补偿，以确保家属的经济权益得到合理保障：

一、基本情形：因病或非因工死亡待遇（若非工伤旧伤复发导致死亡）

1. 丧葬补助金：

   • 这是为减轻家属经济负担而提供的一次性补助。
   • 标准通常由各省、自治区、直辖市规定，一般是按当地上一年度职工月平均工资的一定月数计发，比如3个月或6个月（具体以当地政策为准）。

2. 供养亲属抚恤金：

   • 目的是保障死亡职工供养亲属的基本生活。
   • 范围包括配偶、子女、父母等直系亲属，以及部分符合条件的旁系亲属。
   • 标准各地不同，可能按供养亲属人数和一定比例发放，如配偶每月40%，其他亲属每月30%，并考虑孤寡老人或孤儿的额外增加。同时，核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。

二、特殊情形：因工伤旧伤复发死亡待遇

若工伤一级职工因工伤旧伤复发导致死亡，并经当地劳动能力鉴定委员会确认，其近亲属除可享受上述因病或非因工死亡待遇中的丧葬补助金和供养亲属抚恤金（标准可能有所不同，丧葬补助金通常为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资）外，还可获得：

• 一次性工亡补助金：
  • 这是对因工死亡职工近亲属的一次性经济补偿。
  • 标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。例如，若某年度全国城镇居民人均可支配收入为54188元，则一次性工亡补助金标准为1083760元。此数额会随经济社会发展而有所调整。

三、申请流程与注意事项

1. 地区差异：具体的待遇标准和申请流程可能因地区而异，建议家属先咨询当地社保部门或专业律师，以了解最新政策和具体申请要求。

2. 政策变动：法律法规和政策可能会随时间调整，因此家属在申请前应确保了解的是最新政策。

3. 申请材料：准备充分的申请材料，如死亡证明、亲属关系证明、工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书等，以便顺利申请相关待遇。

综上所述，工伤一级后去世的家属能享受的补助主要取决于职工死亡的具体原因。在申请过程中，家属应关注地区差异、政策变动，并准备充分的申请材料，以确保顺利享受应有待遇。