结论：父母离婚后，孩子抚养权归母亲，母亲不可以擅自向法院提起诉讼要求直接给孩子更换姓名，但可以在特定条件下，通过合法程序尝试变更孩子姓名。具体来说，需遵循以下法律程序和要求：
一、一般原则：父母协商一致
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零一十五条，自然人应当随父姓或者母姓，这是公民依法享有的姓名权的一部分。子女既可以随父姓，也可以随母姓，但姓名的变更应由父母双方协商一致。
操作程序：
- 若母亲希望孩子改随母姓，应首先与父亲进行充分沟通并达成书面同意。
- 双方需共同前往户籍管理部门，携带户口簿、身份证、离婚证（如适用）、孩子出生证明以及父母双方签署的同意改姓的书面协议等材料，提出申请。
- 户籍管理部门会对提交的材料进行审核，审核通过后，依法办理姓氏变更手续。
二、特殊情况：通过法院裁决
法律依据与条件：
- 在特殊情况下，如父亲一方下落不明、不履行抚养义务、存在虐待或遗弃行为等，母亲可以向法院提起诉讼，请求法院判决允许孩子改姓。
- 法院会根据具体情况，从有利于孩子身心健康、保障孩子合法权益等角度进行审理和判决。
操作程序与注意事项：
- 母亲需准备充分的证据材料，证明父亲存在不利于孩子成长的情形，以及改姓对孩子成长的积极影响。
- 提交诉讼申请后，法院会安排庭审，双方需出庭陈述意见和提供证据。
- 若获得法院支持判决，母亲可持法院判决书到户籍管理部门办理改姓手续。
- 需特别注意：即使获得法院判决允许改姓，母亲也应尊重孩子的意愿和感受，特别是在孩子已具备一定判断和表达能力的情况下。
三、成年子女的自主权
- 如果孩子已经成年，他/她需要自己决定是否要更改姓名，并自行到户籍管理部门办理相关手续。此时，父母的意见不再具有决定性作用。
四、法律后果与建议
法律后果：
- 未经父亲同意擅自更改孩子姓氏，可能引发纠纷，并需恢复原姓氏。此外，父亲不得因子女变更姓氏而拒付抚养费。
建议：
- 在决定改姓前，母亲应慎重考虑，并充分尊重孩子的意愿和感受。
- 尝试与父亲进行友好协商，达成一致意见，以避免不必要的法律纠纷。
- 如无法协商一致，且存在特殊情况需要改姓，可咨询专业律师（即本人，谭芳律师，专注于离婚、离婚财产纠纷、婚姻家庭等领域），了解具体法律规定和操作流程，确保程序合法且权益得到充分保护。
综上所述，父母离婚后孩子抚养权归母亲时，母亲给孩子改姓需严格遵守法律法规，确保程序合法且双方意见一致（或获得法院裁决支持）。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。