在行政案件中，若双方各执一词且缺乏第三方证据，案件的处理将主要依赖于现有证据的审查、法律推理及程序规则的应用。以下从多个角度分析此类情况的处理方式：

1. 证据审查与采信规则

   • 现有证据的充分性：法院会首先审查双方提交的证据是否能够直接或间接证明案件事实。即使没有第三方证据，若一方提交的证据（如书证、物证、视听资料等）形成完整证据链，且另一方无法提供有效反驳证据，法院可能采信该证据。
     
   • 举证责任分配：根据《行政诉讼法》第三十四条，被告（行政机关）对作出的行政行为负有举证责任，应当提供作出该行政行为的证据和所依据的规范性文件。若被告无法证明其行政行为的合法性，将承担不利后果。原告若主张行政行为违法或侵权，也需提供初步证据证明其主张的合理性。
     
   • 证据的证明力：法院会综合评估证据的真实性、关联性及合法性。例如，行政机关的执法记录、现场笔录等直接证据的证明力通常高于当事人陈述。若双方证据矛盾，法院可能依据逻辑推理、生活经验或行业惯例进行判断。

2. 程序规则的应用

   • 被告的举证期限：被告需在答辩期内提交证据，逾期提交且无正当理由的，法院可能不予采纳。这一规则可防止行政机关事后补证，确保程序公正。
     
   • 原告的补充证据权利：原告在诉讼过程中发现新证据或因客观原因无法在举证期限内提交证据的，可申请延期举证或补充证据，法院将根据情况决定是否采纳。
     
   • 法院依职权调查取证：在涉及国家利益、公共利益或他人合法权益的案件中，法院可依职权调查收集证据，但行政诉讼中法院主动调查的范围通常较窄，主要限于程序性事项或特定实体问题。

3. 法律推理与自由心证

   • 优势证据原则：在证据不足或双方证据矛盾时，法院会依据“优势证据”规则，即哪一方证据更具有说服力、更符合逻辑和经验法则，从而认定案件事实。
     
   • 推定规则的应用：若行政机关无法证明其行政行为的合法性，法院可能推定该行为违法；若原告无法证明其损害与行政行为之间的因果关系，可能承担败诉风险。
     
   • 法官自由心证：法官在审查证据后，可依据其专业知识和经验对证据的证明力进行自由判断，但需在裁判文书中充分说明理由，确保裁判的逻辑性和说服力。

4. 实践中的应对策略

   • 对行政机关的建议：行政机关应完善执法程序，确保执法过程有完整记录（如录音录像、现场笔录等），并妥善保存证据。在诉讼中，应全面提交证据，避免因证据不足导致败诉。
     
   • 对当事人的建议：当事人应积极收集与案件相关的证据（如证人证言、照片、视频等），并在举证期限内提交。若无法直接获取证据，可申请法院调取或要求行政机关提供。
     
   • 对法院的建议：法院在审理此类案件时，应严格审查证据，充分听取双方意见，并在裁判文书中详细说明证据采信及事实认定的理由，增强裁判的公信力。

总结：在行政案件中，若双方各执一词且缺乏第三方证据，法院将通过审查现有证据、分配举证责任、应用程序规则及法律推理来认定案件事实。行政机关和当事人均应重视证据的收集与保存，法院则需确保裁判的公正性与逻辑性。若您遇到此类问题，可直接向我咨询具体案件的处理方式。