可以申请精神赔偿，但能否获得赔偿及赔偿数额需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十三条：“侵害自然人人身权益造成严重精神损害的，被侵权人有权请求精神损害赔偿。因故意或者重大过失侵害自然人具有人身意义的特定物造成严重精神损害的，被侵权人有权请求精神损害赔偿。”

在此案例中，初中生被打后出现中度睡眠问题，这很可能被视为对其人身权益的侵害，并造成了严重精神损害。因此，从法律条文的角度来看，被侵权人（即初中生）有权请求精神损害赔偿。

二、精神损害的认定

1. 损害后果的严重性：中度睡眠问题通常被视为一种较为严重的精神损害后果。然而，要证明这一损害后果与被打行为之间的因果关系，可能需要专业的医疗鉴定或心理评估。
2. 侵权行为的性质：被打行为本身是一种侵权行为，如果这一行为是故意的或具有重大过失，那么更有可能被认定为造成了严重精神损害。

三、赔偿数额的确定

精神损害赔偿的数额通常根据多种因素确定，包括但不限于：

1. 侵权人的过错程度：如果侵权人是故意的或具有重大过失，赔偿数额可能会相应增加。
2. 侵权行为的具体情节：如侵权行为的手段、场合、行为方式等。
3. 侵权行为所造成的后果：包括精神损害的严重程度、持续时间等。
4. 侵权人的获利情况：如果侵权人因侵权行为获得了利益，这一因素也可能被考虑在内。
5. 侵权人承担责任的经济能力：赔偿数额也会考虑侵权人的经济状况，以确保赔偿的可行性和合理性。
6. 受诉法院所在地平均生活水平：不同地区的经济发展水平和生活水平不同，这也会影响赔偿数额的确定。

四、实际操作建议

1. 收集证据：包括医疗记录、心理评估报告、证人证言等，以证明被打行为与中度睡眠问题之间的因果关系以及精神损害的严重程度。
2. 咨询专业律师：虽然我已经提供了一些法律分析，但具体案件的处理还需要根据具体情况进行。因此，建议咨询专业律师，以便更准确地评估案件情况和制定诉讼策略。
3. 提起诉讼：在收集到足够证据并咨询专业律师后，可以考虑向法院提起诉讼，要求侵权人承担精神损害赔偿责任。

最后需要强调的是，每个案件都有其独特性，因此在实际操作中需要根据具体情况进行判断和处理。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。