公立医院医生在外面多点执业但未备案，是否会被辞退，这主要取决于医院的规章制度以及医生与医院签订的劳动合同或聘用合同中的相关约定。以下从几个方面进行详细分析：

1. 医院规章制度：

   • 公立医院通常会有严格的规章制度来管理医生的执业行为，包括多点执业的备案要求。如果医生未按照医院规定进行多点执业的备案，这可能被视为违反医院规章制度的行为。
   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。因此，如果医院规章制度中明确规定了多点执业需备案，且未备案属于严重违反规章制度的行为，那么医院有权辞退该医生。

2. 劳动合同或聘用合同：

   • 医生与医院签订的劳动合同或聘用合同中，通常会包含关于执业行为、多点执业以及违约责任等条款。如果合同中明确规定了多点执业需备案，且未备案将构成违约，那么医院有权依据合同条款辞退医生。
   • 需要注意的是，即使合同中没有明确规定多点执业需备案，但如果医生的未备案行为给医院造成了重大损失或不良影响，医院也可能依据《劳动合同法》中关于“劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的”的规定，解除与医生的劳动合同。

3. 多点执业的合法性：

   • 多点执业本身并不违法，但需要符合相关的法律法规和政策要求。医生在多点执业前，应当了解并遵守所在地区关于多点执业的规定，包括备案要求等。
   • 如果医生未按照规定进行多点执业的备案，除了可能面临医院的辞退风险外，还可能受到卫生行政部门的处罚，如警告、罚款等。

4. 建议与措施：

   • 对于医生而言：在多点执业前，务必了解并遵守所在医院和所在地区关于多点执业的规定，包括备案要求等。如果确实需要多点执业，且医院规章制度或合同中允许，那么应当按照规定进行备案，以避免不必要的法律风险。
   • 对于医院而言：应当制定明确的规章制度，规范医生的多点执业行为，包括备案要求等。同时，医院也应当加强对医生执业行为的监督和管理，确保医生的执业行为符合法律法规和政策要求。

总结来说，公立医院医生在外面多点执业但未备案，是否会被辞退取决于医院的规章制度以及医生与医院签订的劳动合同或聘用合同中的相关约定。为了避免不必要的法律风险，医生在多点执业前应当了解并遵守相关规定，医院也应当制定明确的规章制度并加强监督管理。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。