结论：员工在公司任职期间在外兼职，公司辞退员工且不给予任何补偿是否合法，需视具体情况而定。若兼职行为严重违反公司规章制度、对完成本职工作造成严重影响或经公司提出后拒不改正，公司辞退员工且不给予补偿是合法的；反之，则可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金。

详细分析：

1. 严重违反公司规章制度：

   • 若公司在规章制度中明确规定禁止员工兼职，并经过合法程序制定、向员工公示，员工仍在外兼职，这将被视为严重违反规章制度。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项，公司可以依法辞退员工，且无需支付经济补偿。

2. 对完成本职工作造成严重影响：

   • 即使公司规章制度未明确禁止兼职，但若员工的兼职行为确实影响了本职工作的完成质量或进度，如导致工作任务频繁延误、出现大量失误，甚至给公司业务带来重大损失，公司也可依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项的规定辞退员工。此时，公司需确保有足够证据证明兼职行为与本职工作受影响之间的因果关系，且无需支付经济补偿。

3. 经公司提出后拒不改正兼职行为：

   • 当公司发现员工存在兼职行为并要求其停止或提供不影响本职工作的证明时，若员工拒不改正，公司同样有权依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项的规定辞退员工。在此之前，公司应给予员工合理的改正期限，并保留相关证据。若员工仍拒不改正，公司辞退员工且不给予补偿是合法的。

4. 公司违法解除劳动合同的情形：

   • 若员工的兼职行为并未违反上述任何一项规定，即兼职工作未影响本职工作的正常完成，也未违反公司的规章制度或竞业限制约定，那么公司以兼职为由辞退员工且不给予补偿将构成违法解除劳动合同。在此情况下，员工可以要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，赔偿金标准通常为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

实践建议：

• 公司角度：公司应完善规章制度，明确员工兼职的相关规定和处罚措施，并确保制度的合法性和有效性。在发现员工兼职行为时，公司应及时收集相关证据，如兼职合同、工作时间记录等，以备后续处理之需。同时，公司应与员工进行充分沟通，了解其兼职原因和情况，并尝试通过调整工作安排或提供其他解决方案来避免直接辞退。

• 员工角度：员工应遵守公司规章制度和法律法规，合理安排个人时间和精力，确保本职工作的顺利完成。若确实需要兼职，应提前与公司沟通并获得同意，避免因此产生不必要的法律纠纷。

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