结论：已逾票据权利失效日的汇票，在特定条件下仍有可能起诉背书人，但具体能否起诉及起诉的效果需根据票据类型、权利失效的具体情形以及相关法律规定综合判断。

分析说明：

1. 票据权利失效日的含义：

   • 票据权利失效日，通常指的是票据权利因超过法定时效期间而丧失法律保护力的日期。对于不同类型的票据（如汇票、本票、支票），其权利时效期间可能有所不同，且可能受到《票据法》等相关法律的规范。

2. 已逾票据权利失效日的影响：

   • 一旦票据权利超过法定时效期间，持票人将丧失对票据债务人的直接追索权，即无法通过票据关系直接要求付款人或承兑人付款，也无法直接起诉出票人或背书人要求承担票据责任。

3. 起诉背书人的可能性：

   • 基础法律关系：尽管票据权利可能因超过时效而丧失，但如果持票人与背书人之间存在基础法律关系（如买卖合同、借贷合同等），且该基础法律关系项下的债权并未超过诉讼时效，持票人仍有可能基于该基础法律关系起诉背书人，要求其履行相应的债务。
   • 票据返还请求权：在某些情况下，即使票据权利已失效，持票人仍可能享有票据返还请求权。如果背书人非法取得或持有票据，持票人可以要求其返还票据。但这一权利通常与票据权利本身不同，且其行使可能受到特定条件的限制。
   • 特殊情形下的票据权利恢复：根据《票据法》等相关法律的规定，在某些特殊情形下（如持票人因不可抗力或其他正当理由未能及时行使票据权利），票据权利可能得到一定程度的恢复或延长。但这种情况较为罕见，且需满足严格的法定条件。

4. 法律建议：

   • 审查票据类型及权利时效：首先，应仔细审查汇票的类型（如银行汇票、商业汇票）以及权利时效期间，确定票据权利是否确实已失效。
   • 评估基础法律关系：其次，应评估持票人与背书人之间是否存在基础法律关系，以及该关系项下的债权是否未超过诉讼时效。
   • 咨询专业律师：由于票据法律关系复杂且涉及众多细节问题，建议持票人在考虑起诉背书人前咨询专业律师的意见，以便更准确地评估法律风险和制定诉讼策略。

行动建议：

• 如果您持有已逾票据权利失效日的汇票，并考虑起诉背书人，请首先收集并整理相关证据材料（如汇票、交易合同、付款记录等）。
• 咨询专业律师，详细说明情况并听取其法律意见。律师将根据您的具体情况和相关法律规定，为您提供更具体的法律建议和诉讼策略。
• 根据律师的建议和您的实际情况，决定是否提起诉讼以及如何提起诉讼。

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