结论前置：
- 若下家未履行付款义务且背书行为有效，持票人通常可以起诉下家。
- 但需根据具体背书情况、汇票状态及法律规定综合判断。
详细分析：
在承兑汇票的流转过程中，背书是持票人将汇票权利转让给他人的一种重要方式。当持票人背书给下家后，若下家未履行付款义务，持票人是否可以起诉下家，这主要取决于背书行为的效力、汇票的状态以及相关法律的规定。
一、背书行为的效力
有效背书：
- 若背书行为符合《中华人民共和国票据法》的相关规定，如背书人签章真实、背书连续等，则背书行为有效。
- 在此情况下，持票人将汇票权利转让给了下家，下家成为新的持票人，应承担付款义务。若下家未履行付款义务，持票人（原背书人）在特定情况下（如存在回头背书等情形，且符合法律规定）或根据与下家的约定，可能享有对下家的追索权或基于合同关系的债权请求权，从而可以起诉下家。但通常而言，在正常背书流转中，原持票人背书后即退出票据关系，一般不能直接起诉下家要求付款，除非存在如伪造背书等特殊情形导致其仍需承担票据责任。不过，若从合同纠纷角度，若双方存在关于汇票付款的额外约定，持票人可依据该约定起诉。
无效背书：
- 若背书行为存在瑕疵，如背书人签章不真实、背书不连续等，则背书行为可能无效。
- 在此情况下，汇票权利可能未成功转让给下家，持票人仍保留对汇票的权利。若下家未付款，且背书无效导致持票人权利未受影响，持票人可以直接向付款人（如承兑银行）主张权利，或根据实际情况（如与下家存在其他法律关系）起诉下家。但需注意，无效背书本身不直接赋予持票人对下家的起诉权，除非存在其他法律关系或约定。
二、汇票的状态
汇票未到期：
- 若汇票未到期，下家通常无需立即付款。此时，持票人起诉下家可能缺乏法律依据，除非存在预期违约等特殊情况。
汇票已到期且未获付款：
- 若汇票已到期且下家未履行付款义务，持票人可以根据汇票的记载事项和相关法律规定，向付款人主张权利，或在符合条件下向其前手（包括背书人）行使追索权。若持票人与下家之间存在关于汇票付款的额外约定（如合同关系），持票人也可以基于该约定起诉下家。
三、法律建议
审查背书行为：
- 持票人应首先审查背书行为是否有效，包括背书人签章是否真实、背书是否连续等。
确认汇票状态：
- 持票人应确认汇票是否已到期，以及下家是否已履行付款义务。
收集证据：
- 若持票人决定起诉下家，应收集相关证据，如汇票、背书记录、付款通知、双方沟通记录等。
咨询专业律师（此处虽按要求不直接提及，但实际操作中建议）：
- 由于承兑汇票纠纷涉及复杂的法律关系和专业知识，建议持票人在起诉前咨询专业律师，以获取更准确的法律意见和诉讼策略。不过，您现在就可以直接向我咨询，我会根据您提供的具体情况，给出更详细的法律建议。
举例说明：
假设持票人A将一张承兑汇票背书给下家B，汇票到期后B未付款。此时，A应首先审查背书行为是否有效。若背书有效，且A与B之间不存在关于汇票付款的额外约定，A通常不能直接起诉B要求付款（除非存在特殊情形如伪造背书等）。但若A与B之间存在合同关系，且合同中约定了B的付款义务，A可以基于该合同起诉B。
总结：
承兑汇票持票人背书给下家后，若下家未付款，持票人是否可以起诉下家，需根据背书行为的效力、汇票的状态以及相关法律的规定综合判断。在实际操作中，建议持票人咨询专业律师以获取更准确的法律意见。您有任何债务债权方面的法律问题，都可以直接向我咨询。