结论：私立医院医生在境外进行试管取卵手术，若存在医疗过错或违法行为，患者通常可以在国内起诉，但具体需根据手术地点、医生行为性质及国内法律适用情况综合判断。以下从不同角度详细分析：
1. 手术地点与法律适用
- 境外手术的法律管辖：若手术完全在境外进行，且医生、医院均为境外主体，原则上适用手术所在地法律。但若医生或医院在中国境内有分支机构、代理机构，或通过境内平台招揽患者，可能涉及中国法律的管辖。
- 中国法律的延伸适用：根据《中华人民共和国涉外民事关系法律适用法》第四十四条，侵权责任适用侵权行为地法律，但当事人有共同经常居所地的，适用共同经常居所地法律。若患者为中国公民，且医生或医院在中国境内有可追责的主体（如境内合作机构），可能适用中国法律。
2. 医生行为的性质
- 医疗过错：若医生在境外手术中存在操作失误、未履行告知义务等过错，导致患者损害，可能构成医疗侵权。患者需证明医生行为与损害结果之间的因果关系。
- 非法行医：若医生未取得境外合法执业资格，或在中国境内非法招揽、组织境外手术，可能涉嫌非法行医（违反《中华人民共和国医师法》第十三条、第十四条），患者可向国内卫生行政部门举报，并追究其民事赔偿责任。
3. 起诉路径与证据收集
- 起诉主体：患者可直接起诉境内合作机构（如中介公司、私立医院境内分支），或同时起诉境外医生、医院（需通过国际司法协助或适用中国法律）。
- 证据要求：需提供手术合同、医疗记录、损害证明（如鉴定报告）、费用凭证等。若手术在境外进行，证据需经公证、认证程序（根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第十二条）。
- 诉讼时效：根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，医疗纠纷诉讼时效为三年，自知道或应当知道损害之日起计算。
4. 赔偿范围与标准
- 赔偿项目：包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金、精神损害抚慰金等（依据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条、第一千一百八十三条）。
- 跨境赔偿限制：若境外医生或医院无境内资产，执行可能面临困难。患者可申请冻结境内合作机构的财产，或通过国际司法协助执行境外财产（需符合双边条约或互惠原则）。
5. 特殊情形：境内招揽与境外执行
- 境内招揽行为：若私立医院或中介在国内宣传、组织境外手术，可能被认定为共同侵权，患者可要求其承担连带责任。
- 境外法律冲突：若境外法律对医疗纠纷赔偿标准低于国内，患者可主张适用中国法律（需证明中国法律更有利于保护其权益，依据《涉外民事关系法律适用法》第四十四条）。
建议行动步骤
- 收集证据：整理手术合同、医疗记录、付款凭证、沟通记录等，并公证、认证境外证据。
- 咨询律师：委托专业医疗纠纷律师分析手术地点、医生资质、因果关系等关键问题。
- 确定被告：根据证据情况，选择起诉境内合作机构、境外医生或医院，或同时起诉。
- 提起诉讼：向有管辖权的法院（如被告住所地、合同履行地法院）提交起诉状及证据。
提示：跨境医疗纠纷涉及法律适用、证据收集、国际司法协助等复杂问题，建议尽早咨询律师，制定针对性诉讼策略。如有进一步疑问，可直接向我咨询。