结论：总裁（或总经理）与公司之间是否构成劳务关系（这里更准确的表述应为劳动关系，因为劳务关系通常指临时性、一次性的工作关系，而总裁与公司之间更倾向于长期、稳定的劳动关系），以及是否涉及工资问题，需根据具体情况判断。
详细分析：
存在劳动关系且涉及工资的情况：
- 聘任与劳动合同：如果总裁是由公司董事会或股东会正式聘任，并签订了明确的劳动合同，其中规定了工作岗位、职责、工资标准、工作时间等关键要素，那么总裁即被视为公司的正式员工，双方构成劳动关系。在此情况下，总裁需接受公司的日常管理和监督，同时从公司获取工资及其他劳动待遇。
- 实际履行与报酬支付：除了劳动合同的签订，总裁还需实际上按照公司的规章制度和工作要求提供劳动，公司应按时足额支付其工资报酬及缴纳社会保险。这是劳动关系存在的重要标志，也是总裁获取工资的直接依据。
不存在劳动关系或不涉及固定工资的情况：
- 外部董事兼任：若总裁同时担任公司的外部董事，且其主要职责是基于董事身份对公司进行战略指导或监督，并不直接参与公司日常运营管理的具体事务，也未与公司签订劳动合同，不从公司领取固定工资报酬（仅可能获取董事津贴），则在这种情况下，总裁与公司之间可能不构成劳动关系，也不涉及固定工资问题。
- 独立承包人或特殊合作模式：如果总裁以独立承包人、顾问或其他特殊合作模式的身份与公司建立业务关系，双方签订的是承包经营合同、顾问合同或其他非劳动合同，那么总裁与公司之间的关系可能更倾向于一种商业合作或承包经营关系，而非劳动关系。在这种情况下，总裁的报酬可能根据合同约定以项目费、咨询费等形式支付，而非固定工资。
法律建议：
- 对于总裁而言，应明确自己与公司之间的法律关系，签订书面合同以明确双方的权利和义务。如果构成劳动关系，应确保劳动合同中包含工资、工作时间、社会保险等关键条款；如果不构成劳动关系，也应明确报酬支付方式、合作期限等事项。
- 对于公司而言，在聘任总裁时，应明确其法律地位和职责范围，签订合适的合同以规避法律风险。如果总裁构成公司员工，应依法为其缴纳社会保险、支付工资等；如果不构成员工，也应确保合作模式的合法性和合规性。
可能法律后果：
- 如果总裁与公司之间构成劳动关系但未签订劳动合同或未依法支付工资，总裁有权向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼，要求公司支付工资、经济补偿等。
- 如果总裁与公司之间不构成劳动关系但存在其他纠纷（如合作费用支付纠纷），双方应依据合同约定或相关法律规定通过协商、诉讼等方式解决。
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