结论：健身房没签合同但不退款是否违法，需根据具体情况判断。若健身房未按约定提供服务或存在违约行为，消费者有权要求退款；若消费者因个人原因要求退款且无合理依据，则健身房拒绝退款可能不违法。以下是对此问题的详细分析：
一、健身房未签合同但拒绝退款的合法性基础（从消费者权益角度）
事实服务关系的存在：
- 即便未签订书面合同，若双方已形成事实上的服务关系（如消费者已支付费用并开始使用健身房设施），该关系仍受法律保护。根据《中华人民共和国民法典》第五百零二条，依法成立的合同自成立时生效，法律另有规定或当事人另有约定的除外。在未签订书面合同的情况下，事实服务关系同样具有法律效力。
消费者权益保护：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第九条，消费者享有自主选择商品或服务的权利，包括自主决定购买或不购买任何服务的自由。若健身房未按约定提供服务或存在欺诈行为，消费者有权要求退款。
- 同时，根据该法第十六条，经营者向消费者提供商品或服务时应恪守社会公德、诚信经营，保障消费者合法权益，不得设定不公平交易条件。若健身房拒绝退款且无正当理由，可能构成对消费者权益的侵害。
二、健身房拒绝退款可能合法的情形
消费者自身原因违约：
- 若消费者因个人兴趣改变、工作地点变动等自身原因要求退款，且不符合合同约定的退费条件（即便未签合同，也可能存在口头约定或行业惯例），健身房拒绝退款通常不违法。因为消费者应承担因自身原因导致的合同无法履行的责任。
服务正常提供且无违约：
- 若健身房已按约定正常提供服务（如场地设施正常开放、教练按时授课等），且未出现任何违约行为，消费者以不合理理由要求退款时，健身房拒绝退款具有合理依据，不构成违法。
三、健身房拒绝退款可能违法的情形
健身房违约：
- 服务质量不达标：若健身房未能按约定提供服务（如健身器材数量不足、教练资质不符、课程随意取消等），导致消费者合同目的无法实现，消费者有权要求退款。健身房拒绝退款即违反《民法典》关于全面履行合同义务的规定。
- 擅自变更服务内容：若健身房未经消费者同意擅自变更服务内容、地点、时间等重要事项，影响消费者正常使用健身服务，消费者可要求退款。健身房拒绝退款同样构成违法。
存在欺诈行为：
- 若健身房在销售会员卡时存在欺诈行为（如虚假宣传健身设施、夸大教练能力等），使消费者在违背真实意思的情况下支付费用，消费者有权请求撤销事实服务关系并要求退款。健身房拒绝退款即违反相关法律规定。
四、建议与流程
协商阶段：
- 消费者应主动与健身房沟通退款诉求，说明理由并提供相关证据（如付款凭证、沟通记录、宣传资料等）。多数纠纷可通过友好协商解决。
投诉渠道：
- 若协商未果，消费者可向当地消费者协会或市场监管部门投诉，提交书面材料并附证据清单。这些机构将协助消费者与健身房进行调解。
法律途径：
- 若通过投诉仍无法解决问题，消费者可通过仲裁或诉讼维权。在此过程中，需准备起诉状、证据材料及费用缴纳凭证。根据《民事诉讼法》，此类案件通常适用简易程序审理。
总结：健身房没签合同但不退款是否违法，需根据双方实际履行情况、是否存在违约或欺诈行为等因素综合判断。消费者在遇到此类问题时，应保留好相关证据并积极维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步帮助，请直接向我咨询。