私立幼儿园暑假不发放基本工资一般是不合法的，但具体还需根据劳动合同的约定以及相关法律法规来综合判断。以下从不同角度为你详细分析：

从劳动合同角度分析

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者签订的劳动合同应当明确约定工资支付标准、支付时间等关键条款。如果劳动合同中明确规定了暑假期间也需支付基本工资，那么私立幼儿园在暑假不发放基本工资就构成了违约行为，劳动者有权要求幼儿园按照合同约定支付工资。

举例：假设你与私立幼儿园签订的劳动合同中明确写明“无论是否处于教学期间，每月均支付基本工资5000元”，那么在暑假期间，幼儿园就应当按照这一约定支付你基本工资。

从法律法规角度分析

即使劳动合同中没有明确约定暑假期间的工资支付情况，根据《工资支付暂行规定》等相关法律法规，用人单位在非因劳动者原因造成的停工、停产期间，仍需按照劳动合同规定的标准支付劳动者工资。暑假期间，虽然幼儿园可能没有教学活动，但这并不属于因劳动者原因造成的停工、停产，因此幼儿园应当支付基本工资。

特殊情况：如果私立幼儿园能够证明暑假期间属于因不可抗力（如自然灾害、政府命令等）导致的停工、停产，且已经按照相关规定向劳动者说明了情况，并得到了劳动者的理解，那么在这种情况下，幼儿园可能不需要支付暑假期间的基本工资。但这种情况较为罕见，且需要幼儿园提供充分的证据来证明。

法律建议

1. 与幼儿园协商：首先，你可以尝试与私立幼儿园进行协商，明确暑假期间的工资支付情况，并要求幼儿园按照合同约定或法律法规支付工资。

2. 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，你可以向当地的劳动监察部门投诉，请求劳动监察部门介入调查，并维护你的合法权益。

3. 申请劳动仲裁：如果劳动监察部门的处理结果未能满足你的需求，你还可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，通过法律途径来维护自己的权益。

在处理此类问题时，建议你保留好与私立幼儿园签订的劳动合同、工资支付记录等相关证据，以便在需要时提供有力的证明。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。