针对您提出的“遛狗不牵绳应该怎么处罚”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、法律依据与处罚原则

遛狗不牵绳的行为违反了《中华人民共和国动物防疫法》以及地方性养犬管理规定，如《北京市养犬管理规定》等。这些法律法规明确要求，携带犬只出户时，必须按照规定佩戴犬牌并采取系犬绳等措施，以防止犬只伤人或传播疫病。对于违反这一规定的行为，相关部门将依法进行处罚。

二、具体处罚措施

1. 首次违规：

   • 处罚措施：警告并责令改正。
   • 执行主体：公安机关或城管部门。
   • 说明：对于首次违规且情节较轻的，相关部门通常会给予警告，并要求养犬人立即改正，如牵好犬绳等。

2. 拒不改正：

   • 处罚措施：处50元以上200元以下罚款。
   • 执行主体：公安机关或城管部门。
   • 说明：如果养犬人在被警告后仍拒不改正，继续遛狗不牵绳，相关部门将依法对其处以罚款。

3. 情节严重：

   • 处罚措施：没收犬只 + 罚款500元至1000元。
   • 执行主体：公安机关。
   • 说明：对于情节严重的违规行为，如犬只伤人、多次违规等，公安机关将依法没收犬只，并处以较高额度的罚款。

4. 造成他人损害：

   • 处罚措施：承担民事赔偿责任（医疗费、误工费等）。
   • 执行主体：司法机关。
   • 说明：如果遛狗不牵绳导致他人受伤或财产损失，养犬人需要承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费等。

三、管理部门与职责

1. 公安机关：

   • 主要职责：处理因遛狗不牵绳引发的社会治安问题，如犬只伤人、干扰他人正常生活等。
   • 法律依据：《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关法律法规。

2. 城市管理部门（综合执法局）：

   • 职责范围：负责城市市容和环境卫生的综合管理，处理遛狗不牵绳导致的环境卫生问题。
   • 法律依据：《城市市容和环境卫生管理条例》等相关规定。

3. 动物卫生监督机构：

   • 主要职责：负责动物防疫及相关监督管理工作，处理未按规定进行免疫接种的犬只。
   • 法律依据：《中华人民共和国动物防疫法》等相关法律法规。

四、建议与注意事项

1. 主动合规：作为养犬人，应主动遵守相关法律法规，出门遛狗时务必牵好犬绳，确保犬只不会伤人或传播疫病。
2. 及时办理证件：确保犬只已登记、接种疫苗，并携带相关证件出门。
3. 关注地方政策：不同地区对禁养犬种、限养区域等可能有不同规定，养犬人应关注并遵守当地政策。
4. 应对执法：如遇执法人员检查，应积极配合调查并提供相关证件，避免产生不必要的纠纷。

总结：遛狗不牵绳不仅违反了法律法规，还可能危及公共安全和他人的合法权益。因此，养犬人应严格遵守相关规定，文明养犬，共同维护社区和谐与公共安全。如果遇到遛狗不牵绳的行为，公众可以选择报警或拨打市民热线进行举报，以便相关部门及时介入处理。