结论：工厂员工上个月请的病假，第二个月是否可以继续报病假，主要取决于员工的实际病情、医疗机构的诊断证明以及工厂的相关规章制度。以下从不同角度进行分析：

1. 从医疗证明的角度：

   • 如果员工在第二个月仍然需要治疗或休养，且医疗机构出具了相应的诊断证明，明确说明员工需要继续病假，那么员工有权根据医疗机构的建议继续报病假。
   • 医疗机构出具的诊断证明是员工请病假的重要依据，工厂应当予以认可，并按照相关规定支付病假工资或给予其他相应的待遇。

2. 从工厂规章制度的角度：

   • 工厂可能有自己的病假管理制度，包括病假的申请流程、审批权限、病假期限等。员工在请病假时，需要遵守工厂的这些规定。
   • 如果工厂的规章制度中明确规定了病假的期限或连续请病假的条件，员工需要了解并遵守这些规定。例如，有些工厂可能规定连续病假不得超过一定天数，或者需要定期提交医疗证明等。

3. 从法律规定的角度：

   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。
   • 在医疗期内，员工有权享受病假待遇，工厂不得随意解除劳动合同或降低工资待遇。但是，医疗期的具体期限和待遇标准可能因地区和工厂政策而异，员工需要了解并遵守相关规定。

建议：

• 员工在请病假前，最好先了解工厂的病假管理制度和法律规定，确保自己的权益得到保障。
• 如果员工需要继续请病假，应及时向工厂提交医疗机构的诊断证明，并按照工厂的规定办理病假申请手续。
• 如果工厂对员工的病假申请有异议或拒绝批准，员工可以与工厂进行沟通协商，或者向劳动监察部门投诉举报，维护自己的合法权益。

可能后果：

• 如果员工未经医疗机构诊断或未按照工厂规定办理病假申请手续而擅自离岗，工厂可能按照旷工处理，甚至解除劳动合同。
• 如果工厂违反法律规定或规章制度，拒绝批准员工的合理病假申请或降低工资待遇，员工有权向劳动监察部门投诉举报，并要求工厂承担相应的法律责任。