针对您提出的“单位无正当理由拒绝教师的延退申请，教师该怎么办”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、了解相关法律法规和政策

首先，您需要详细了解国家关于教师延迟退休的相关法律法规和政策。近年来，国家对于延迟退休政策有明确的提及和讨论，特别是强调了“自愿、弹性”的原则。例如，《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》中就提到了按照自愿、弹性原则，稳妥有序推进渐进式延迟法定退休年龄改革。此外，一些地方如江苏省、山东省、辽宁省等也出台了关于企事业单位高级专家或专业技术人员延迟退休的具体实施办法。

二、与单位进行沟通

在了解相关法律法规和政策后，您可以与单位的相关负责人进行沟通，表达自己的延退意愿和诉求。在沟通过程中，您可以：

1. 明确表达意愿：清晰、明确地表达您希望延迟退休的意愿，并说明您的理由和考虑。
2. 提供依据：出示相关的法律法规和政策文件，作为您申请延迟退休的依据。
3. 协商解决方案：与单位协商可能的解决方案，如调整工作岗位、减轻教学负担等，以确保您在延迟退休期间能够继续发挥专业优势。

三、寻求帮助和支持

如果与单位沟通无果，您可以考虑寻求以下帮助和支持：

1. 向教育主管部门投诉：您可以向当地的教育主管部门（如教育局）投诉，说明单位拒绝您延退申请的情况，并请求他们介入调查和处理。
2. 申请劳动仲裁：如果单位的行为涉嫌违反劳动法律法规，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求单位依法履行义务。
3. 咨询法律专业人士：在必要时，您可以咨询法律专业人士（如律师），了解您的法律权益和可能的维权途径。

四、考虑个人情况和职业规划

在采取上述措施的同时，您也需要考虑自己的个人情况和职业规划。例如：

1. 身体健康状况：评估自己的身体健康状况是否允许继续承担教学重任。
2. 职业发展规划：思考延迟退休是否符合您的职业发展规划和长远目标。
3. 家庭因素：考虑延迟退休对家庭生活的影响，如与家人的相处时间、家庭责任等。

五、关注政策动态和单位态度

最后，您需要持续关注国家关于延迟退休政策的动态以及单位的态度变化。随着政策的不断完善和单位对延迟退休政策的深入理解，您的延退申请可能会得到更积极的回应。

综上所述，面对单位无正当理由拒绝延退申请的情况，您可以通过了解相关法律法规和政策、与单位沟通、寻求帮助和支持、考虑个人情况和职业规划以及关注政策动态和单位态度等措施来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。