结论前置：手术后患者死亡，医院是否需要赔偿，关键在于判断医院在诊疗过程中是否存在过错，且该过错是否与患者的死亡存在因果关系。若医院确实存在过错并导致患者死亡，则需依法承担赔偿责任。
一、判定医院是否担责
封存病历：
- 患者死亡后，家属应及时要求封存和复印全部病历资料，这是查明事实、明确责任的重要依据。病历涵盖门诊病历、住院志、各类检查单、手术记录等所有医疗文件。通过封存病历，可以确保医疗行为的原始记录不被篡改或遗失，为后续的医疗鉴定和责任认定提供有力证据。
医疗鉴定：
- 医疗事故技术鉴定：家属可以向当地医学会申请医疗事故技术鉴定，由专家鉴定是否构成医疗事故及事故等级。这一鉴定结果对于判断医院是否存在过错以及过错的程度具有重要参考价值。
- 医疗损害鉴定：家属还可以通过法院委托有资质的司法鉴定机构进行医疗损害鉴定，判断医院在诊疗中是否有过错、过错与患者死亡间的因果关系及原因力大小。这一鉴定更为全面和深入，能够更准确地反映医疗行为的实际情况。
责任认定：
- 若鉴定表明医院有过错且与死亡有因果关系，则医院需承担赔偿责任。这包括医疗费、误工费、丧葬费、被扶养人生活费、死亡赔偿金以及精神损害抚慰金等。
- 若医院无过错，如已尽合理诊疗义务，患者死亡因不可预见或不可避免原因，则医院通常不担责。在这种情况下，家属应理解并接受医疗行为的局限性，避免过度维权。
二、确定赔偿项目及计算方式
若医院被认定需承担责任，赔偿项目包括但不限于以下，具体依据《民法典》及相关司法解释：
医疗费：
- 计算因医疗事故导致的治疗费用，不包括原发病费用。后续治疗必需的，按基本医疗费用支付。计算公式为：医疗费 = 实际治疗费用 - 原发病费用（如有）。
误工费：
- 有固定收入者，按误工减少的收入计算；无固定收入者，参照当地职工年平均工资计算。计算公式为：误工费 = 误工时间 × 每日收入（或当地职工年平均工资/365天）。
丧葬费：
- 按当地规定的丧葬费补助标准计算，通常为六个月职工月平均工资。计算公式为：丧葬费 = 当地职工月平均工资 × 6个月。
被扶养人生活费：
- 以死者生前实际扶养且无劳动能力者为限，按当地居民最低生活保障标准计算，考虑年龄因素确定扶养年限。计算公式为：被扶养人生活费 = 当地居民最低生活保障标准 × 扶养年限 × 被扶养人数。
死亡赔偿金：
- 按当地城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，计算二十年（老年人相应减少）。计算公式为：死亡赔偿金 = 当地城镇居民人均可支配收入（或农村居民人均纯收入）× 20年（或相应减少的年限）。
精神损害抚慰金：
- 根据侵权程度、后果及当地生活水平等因素综合确定，最长不超过六年居民年平均生活费。这一赔偿项目旨在抚慰家属的精神痛苦，具体金额需由法院根据实际情况酌情判决。
其他费用（如陪护费、交通费、住宿费等）：
- 根据实际情况合理计算。这些费用是因医疗事故导致的额外支出，家属应保留相关票据以便索赔。
三、赔偿协商与诉讼
协商解决：
- 医患双方可协商赔偿，达成一致后签订协议。此方式简便快捷，但可能因金额分歧难以一致。在协商过程中，家属应充分了解自己的权益和赔偿标准，避免被医院误导或欺骗。
诉讼解决：
- 协商不成时，患者家属可向人民法院提起诉讼。需提供充分证据支持主张，法院将依法判决。在诉讼过程中，家属应积极配合律师的工作，提供必要的证据和材料，以便法院能够准确判断医院的责任和赔偿金额。
总结：处理手术后患者死亡事件，应重视事实调查和证据收集，确保公正维护双方权益。作为家属，在面对此类悲剧时，应保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。