手术后患者死亡，医院是否需要赔偿以及赔偿多少，关键在于判断医院在诊疗过程中是否存在过错，且该过错是否与患者的死亡存在因果关系。以下从多个角度为您详细分析：
一、医院是否担责的判断
过错判断：
- 医院承担赔偿责任的前提是其医疗行为存在过错，并且此过错直接导致了患者的死亡。过错的判断依据主要包括医疗卫生管理法律、行政法规、部门规章以及诊疗护理规范和常规。例如，手术操作不当导致感染或错误判断手术适应症引发的意外，均可能构成医院的过错。
医疗鉴定：
- 在医患双方对医院是否存在过错有争议时，可通过医疗事故技术鉴定（由医学会组织）或医疗损害鉴定（由具有资质的司法鉴定机构进行）来明确。两者分别从医疗事故处理和民事侵权角度评估医院的过错及其与损害结果的因果关系。
责任认定：
- 若鉴定表明医院有过错且与死亡有因果关系，则医院需承担赔偿责任。
- 若医院无过错，如已尽合理诊疗义务，患者死亡因不可预见或不可避免原因，则医院通常不担责。
二、赔偿项目及计算方式
若医院被认定需承担赔偿责任，赔偿项目通常包括但不限于以下，具体依据《民法典》及相关司法解释：
医疗费：
- 计算公式：因医疗事故导致的治疗费用 - 原发病费用。后续治疗必需的，按基本医疗费用支付。
误工费：
- 计算公式：有固定收入者，按误工减少的收入计算；无固定收入者，参照当地职工年平均工资计算。具体为：患者有固定收入的，按照本人因误工减少的固定收入计算，对收入高于医疗事故发生地上一年度职工年平均工资3倍以上的，按照3倍计算；无固定收入的，按照医疗事故发生地上一年度职工年平均工资计算。
丧葬费：
- 计算公式：按当地规定的丧葬费补助标准计算，通常为六个月职工月平均工资。具体为：按医疗事故发生地规定的丧葬费补助标准计算，通常为受诉法院所在地上一年度职工月平均工资标准的六个月总额。
被扶养人生活费：
- 计算公式：以死者生前实际扶养且无劳动能力者为限，按当地居民最低生活保障标准计算，考虑年龄因素确定扶养年限。具体为：以死者生前实际扶养且无劳动能力的人为限，按户籍所在地或居所地居民最低生活保障标准计算，具体年限根据被扶养人的年龄确定。
死亡赔偿金：
- 计算公式：按当地城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，计算二十年（老年人相应减少）。具体为：按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，按二十年计算。六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。
精神损害抚慰金：
- 计算公式：根据侵权程度、后果及当地生活水平等因素综合确定，最长不超过六年居民年平均生活费。具体为：根据医疗事故发生地居民年平均生活费计算，造成患者死亡的，赔偿年限最长不超过六年。
其他费用（如陪护费、交通费、住宿费等）：
- 陪护费：根据患者实际需要陪护的情况，参照当地护工从事同等级别护理的劳务报酬标准计算。
- 交通费、住宿费：根据患者及其必要的陪护人员因就医或转院治疗实际发生的费用计算，应提供正式票据。
三、赔偿的解决途径
协商解决：
- 医患双方可直接就赔偿问题进行协商，基于平等、自愿的原则达成赔偿协议。这种方式程序简单、快捷，有助于及时解决纠纷。
行政调解：
- 患者家属可向卫生行政部门申请调解，由其组织双方进行调解，依据相关法律法规和鉴定结果促使双方达成协议。
诉讼解决：
- 若协商和调解均无果，患者家属可向法院提起诉讼。在诉讼中，患者家属需举证证明医院的过错及因果关系，法院将依法判决。
总结与建议：手术后患者死亡案件的赔偿责任确定复杂，需综合考虑医疗过错、因果关系及赔偿项目与标准。建议您在处理此类纠纷时，及时封存病历资料，并考虑进行医疗鉴定以明确责任。同时，根据具体情况计算赔偿金额，并选择合适的解决途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。