当单位的司机出现醉驾行为时，这确实是一个严重的问题，需要从法律层面和单位内部管理两个维度进行全面而细致的处理。以下是我为您详细梳理的处理方式和建议：
一、法律层面的处理
刑事责任：
- 醉驾是严重的违法行为，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，醉酒驾驶机动车将构成危险驾驶罪，可能面临拘役和罚金的处罚。
- 如果醉驾行为导致了重大交通事故，如致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失，那么司机可能构成交通肇事罪，将面临更严重的刑罚，包括有期徒刑等。
行政处罚：
- 公安机关交通管理部门将对醉驾司机进行严厉的行政处罚，包括吊销其机动车驾驶证，并依法追究刑事责任。此外，醉驾司机在五年内将不得重新取得机动车驾驶证。
- 如果醉驾司机是营运机动车的驾驶员，那么处罚将更为严厉，除吊销驾驶证外，十年内不得重新取得，且终生不得驾驶营运车辆。
其他法律后果：
- 醉驾行为还可能导致保险公司拒绝理赔商业险部分，尽管交强险在责任限额内仍需赔偿，但商业险的拒赔将给司机和单位带来经济损失。
- 醉驾司机还可能面临职业限制，如被禁止从事特定行业或岗位，这将对其职业生涯产生长远影响。
二、单位内部的处理
立即停职：
- 单位在得知司机醉驾行为后，应立即停止其职务，防止其继续驾驶单位车辆或执行与驾驶相关的任务，以确保单位和其他人员的安全。
配合调查：
- 单位应积极配合公安机关的调查工作，提供必要的协助和信息，如提供司机的个人信息、驾驶记录、车辆信息等，以协助公安机关尽快查明事实真相。
内部纪律处分：
- 根据单位的规章制度，对涉事司机进行严肃的内部纪律处分，如警告、记过、开除等。处分决定应明确、具体，并告知司机其享有的申诉权利，以确保处分的公正性和合理性。
安全教育与培训：
- 单位应组织全体员工进行交通安全教育和培训，提高员工的安全意识和法律意识。通过案例分析、法律讲解等方式，强调醉驾的严重性和后果，警示其他员工不要重蹈覆辙。
完善管理制度：
- 单位应审查并完善内部的车辆管理制度和驾驶员管理制度，明确驾驶员的职责和义务，加强对驾驶员的日常管理和监督。例如，可以建立驾驶员的酒精检测制度、定期的安全培训制度等，以预防类似事件的再次发生。
考虑民事赔偿责任：
- 如果醉驾行为导致单位财产损失或他人人身伤害，单位可能需要承担相应的民事赔偿责任。单位应积极与受害者协商赔偿事宜，或通过法律途径解决纠纷，以维护单位的合法权益和声誉。
综上所述，单位在处理司机醉驾行为时，应坚持法律原则，同时结合单位实际情况，采取全面而细致的处理措施，以确保单位的正常运营和员工的安全。