结论：公益性的公共设施不收费，群众在锻炼时滑倒摔伤，管理机关是否承担赔偿责任需视具体情况而定，不能一概而论。以下从多个角度进行分析：
一、管理机关的过错责任
管理机关的职责：
- 管理机关对公共设施负有管理、维护的职责，应确保设施的安全性和适用性。如果管理机关未尽到合理的安全保障义务，如设施存在明显安全隐患而未及时修复，或者未设置明显的警示标志，导致群众在锻炼时滑倒摔伤，那么管理机关可能需要承担相应的赔偿责任。
过错认定：
- 过错的认定通常基于管理机关是否违反了相关法律法规或行业标准，以及是否尽到了合理的注意义务。如果管理机关能够证明自己已经尽到了合理的安全保障义务，且摔伤是由于群众自身疏忽或不可抗力因素导致的，那么管理机关可能不承担赔偿责任。
二、群众自身的责任
自我保护意识：
- 群众在使用公共设施进行锻炼时，也应具备一定的自我保护意识。如果群众在锻炼过程中未注意自身安全，如穿着不合适的鞋子、在湿滑的地面上奔跑等，导致滑倒摔伤，那么群众自身可能需要承担一定的责任。
过错相抵原则：
- 在侵权责任纠纷中，如果双方均存在过错，法院可能会根据过错相抵原则，减轻或免除管理机关的赔偿责任。即，如果群众自身存在过错，且该过错与摔伤结果之间存在因果关系，那么管理机关的赔偿责任可能会相应减轻。
三、特殊情况下的责任承担
不可抗力因素：
- 如果摔伤是由于不可抗力因素导致的，如地震、洪水等自然灾害，或者突然发生的意外事件，如设备故障等，且管理机关已经尽到了合理的安全保障义务，那么管理机关可能不承担赔偿责任。
第三方责任：
- 如果摔伤是由于第三方的行为导致的，如其他锻炼者的故意或过失行为，那么管理机关可能不承担直接赔偿责任，但可能需要承担一定的补充责任或协助责任，具体取决于相关法律法规的规定和实际情况。
四、法律建议
收集证据：
- 如果群众在锻炼时滑倒摔伤，建议及时收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明摔伤的原因和管理机关的过错情况。
协商解决：
- 在发生摔伤事故后，建议群众与管理机关进行协商解决，以达成和解协议并尽快获得赔偿。如果协商无果，群众可以向相关部门投诉或寻求法律援助。
法律途径：
- 如果协商和投诉均无法解决问题，群众可以通过法律途径维护自己的合法权益，如向法院提起诉讼等。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明管理机关的过错和摔伤结果之间的因果关系。
总结：公益性的公共设施不收费，群众在锻炼时滑倒摔伤，管理机关是否承担赔偿责任需根据具体情况进行判断。如果管理机关未尽到合理的安全保障义务导致摔伤事故发生，那么管理机关可能需要承担相应的赔偿责任；如果群众自身存在过错或摔伤是由于不可抗力因素或第三方行为导致的，那么管理机关的赔偿责任可能会相应减轻或免除。因此，在处理此类纠纷时，需要综合考虑各种因素并依据相关法律法规进行判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。