结论：在您描述的情况下，能否要求退款取决于多个因素，包括商家的行为是否构成欺诈、是否违反了消费者权益保护的相关规定，以及您与商家之间的合同约定等。以下从不同角度进行分析：
一、商家行为是否构成欺诈
欺诈的认定：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失。
- 欺诈行为通常包括故意隐瞒真实情况、故意告知虚假情况等，导致消费者在不知情的情况下做出购买决定。
本案分析：
- 如果商家在销售金首饰时，未明确告知每克加工费，且发票上也没有注明，这可能构成故意隐瞒真实情况。
- 如果这种隐瞒导致您在购买时产生了误解，或者您因此支付了高于市场合理水平的费用，那么商家的行为可能构成欺诈。
二、商家是否违反了消费者权益保护的相关规定
消费者知情权：
- 消费者有权知悉其购买、使用的商品或者接受的服务的真实情况。
- 商家在销售商品时，应当提供真实、全面的信息，包括商品的价格、费用构成等。
本案分析：
- 商家未告知每克加工费，且发票上未注明，可能侵犯了您的知情权。
- 您有权要求商家提供完整的费用信息，并在信息不明确的情况下拒绝购买或要求退款。
三、合同约定与退款可能性
合同约定：
- 您与商家之间的购买行为构成了一个买卖合同。
- 合同的内容应当包括商品的价格、数量、质量等条款。
退款可能性：
- 如果合同中没有明确约定加工费，或者商家在合同订立过程中未履行告知义务，您有权要求商家按照合理价格进行结算或退款。
- 如果商家拒绝退款，您可以考虑通过法律途径解决争议，如向消费者协会投诉、提起民事诉讼等。
四、建议与行动步骤
与商家协商：
- 首先，您可以尝试与商家协商，要求商家明确加工费并协商退款事宜。
收集证据：
- 如果协商无果，您需要收集相关证据，如购买凭证、发票、与商家的沟通记录等。
寻求法律帮助：
- 如果商家仍然拒绝退款，您可以咨询专业律师（即我本人，常虎律师，专注于婚姻家庭、经济纠纷领域），了解您的法律权益和可能的维权途径。
- 根据律师的建议，您可以考虑向消费者协会投诉、提起民事诉讼等法律行动。
总结：在您描述的情况下，能否要求退款取决于商家的行为是否构成欺诈、是否违反了消费者权益保护的相关规定，以及您与商家之间的合同约定。建议您首先与商家协商，并收集相关证据。如果协商无果，您可以咨询专业律师并考虑采取法律行动来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。