结论：工伤赔偿基金不予赔偿时，公司一般不可以直接对基金提起行政诉讼，但公司或员工可依法采取其他救济途径。以下从不同角度详细分析：

一、工伤赔偿基金的性质与不予赔偿的情形

工伤赔偿基金，通常指的是工伤保险基金，它是由用人单位缴纳的工伤保险费、工伤保险基金的利息和依法纳入工伤保险基金的其他资金构成，用于支付工伤保险待遇、劳动能力鉴定费用等。当员工发生工伤事故时，如果符合工伤保险条例规定的条件，应当从工伤保险基金中支付相应的工伤待遇。

然而，在某些情况下，工伤赔偿基金可能会不予赔偿，比如：

1. 未依法缴纳工伤保险费：如果用人单位未按照规定为员工缴纳工伤保险费，那么员工发生工伤时，工伤保险基金将不予支付相关待遇。
2. 不符合工伤认定条件：如果员工的伤害不符合《工伤保险条例》中规定的工伤认定条件，如非工作原因造成、故意自伤等，工伤保险基金也将不予赔偿。
3. 超过申报时限：如果用人单位或员工未在规定时限内提出工伤认定申请，也可能导致工伤保险基金不予赔偿。

二、公司是否可以行政诉讼

一般情况下，公司不可以直接对工伤赔偿基金提起行政诉讼。因为工伤赔偿基金本身并不是行政机关，而是由社会保险经办机构管理的社会保险基金。当工伤赔偿基金不予赔偿时，通常涉及的是社会保险经办机构的具体行政行为（如工伤认定、待遇支付等）的合法性、合理性问题。

如果公司认为社会保险经办机构的具体行政行为侵犯了其合法权益，公司可以依法申请行政复议或者提起行政诉讼，但诉讼对象应是作出具体行政行为的社会保险经办机构，而非工伤赔偿基金本身。

三、公司或员工可采取的救济途径

1. 申请行政复议：如果公司或员工对社会保险经办机构的具体行政行为不服，可以依法向上一级社会保险行政部门或者本级人民政府申请行政复议。

2. 提起行政诉讼：如果公司或员工对行政复议结果不服，或者认为社会保险经办机构的具体行政行为直接侵犯了其合法权益，可以依法向人民法院提起行政诉讼。

3. 协商与调解：在提起行政复议或行政诉讼之前，公司或员工也可以尝试与社会保险经办机构进行协商或调解，以寻求更快速、更经济的解决方案。

4. 劳动仲裁：如果工伤赔偿问题涉及劳动争议，如用人单位未依法缴纳工伤保险费导致员工无法享受工伤保险待遇等，公司或员工还可以依法向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。

四、实际操作建议

1. 及时咨询专业律师：在处理工伤赔偿问题时，公司或员工应及时咨询专业律师，了解相关法律法规和政策规定，以便更好地维护自己的合法权益。

2. 保留相关证据：公司或员工应妥善保留与工伤事故相关的所有证据，如医疗记录、工伤认定申请书、社会保险经办机构的回复等，以便在需要时提供证明。

3. 遵循法定程序：在处理工伤赔偿问题时，公司或员工应严格遵循法定程序，如及时提出工伤认定申请、依法申请行政复议或提起行政诉讼等。

如果你或公司遇到工伤赔偿基金不予赔偿的情况，并希望进一步了解如何维护自己的合法权益，可以直接向我咨询。