结论：检察院不予起诉的案子移送给行政机关后，不可以仅以公安笔录为证据进行行政处罚。行政机关在作出行政处罚决定时，必须遵循法定程序，全面、客观、公正地收集证据，确保所依据的证据确实、充分。
分析说明：
证据的充分性与合法性：
- 根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，行政机关在作出行政处罚决定前，必须查明事实，证据确凿。这要求行政机关收集的证据必须充分、合法，能够形成完整的证据链，以支持其处罚决定的合法性。
- 公安笔录虽然是案件调查过程中的一种重要证据形式，但它通常只是记录了当事人的陈述或证人的证言，可能缺乏其他物证、书证或鉴定意见等辅助证据。因此，仅凭公安笔录往往难以构成确凿的证据链。
行政处罚的法定程序：
- 行政机关在作出行政处罚决定时，必须遵循法定程序，包括告知当事人权利、听取当事人陈述和申辩、组织听证（如当事人要求）等。这些程序旨在保障当事人的合法权益，确保行政处罚的公正性和合法性。
- 在证据收集方面，行政机关应当依法进行调查取证，包括询问当事人、证人，查阅、复制相关文件资料，进行现场勘验、检查等。这些措施有助于行政机关全面、客观地了解案件事实，为作出正确的处罚决定提供依据。
检察院不予起诉与行政处罚的关系：
- 检察院不予起诉并不意味着案件事实不清或证据不足，而只是表明根据现有证据和法律规定，不足以对犯罪嫌疑人提起公诉。这并不影响行政机关对同一事实进行行政处罚的权力。
- 然而，行政机关在作出行政处罚决定时，仍然需要独立收集证据，并确保这些证据符合法定要求。不能简单地将检察院不予起诉的决定作为行政处罚的依据，更不能仅凭公安笔录就作出处罚决定。
法律建议：
- 对于行政机关而言，在接收检察院不予起诉的案件后，应当重新进行调查取证，确保所依据的证据确实、充分。如果仅凭公安笔录难以形成完整的证据链，应当考虑补充其他证据形式，如物证、书证、鉴定意见等。
- 对于当事人而言，如果认为行政机关作出的行政处罚决定缺乏事实依据或法律依据，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
后续行动与风险防范：
- 行政机关在作出行政处罚决定前，应当充分听取当事人的陈述和申辩意见，确保处罚决定的公正性和合法性。
- 当事人在收到行政处罚决定书后，应当认真核对决定书中的事实认定、法律依据和处罚内容等信息。如果认为存在错误或不当之处，可以及时向行政机关提出异议或申请行政复议、提起行政诉讼等法律救济途径。
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