结论：在打工期间生病，雇主是否有责任取决于生病的具体原因。如果疾病与工作直接相关，如构成工伤、职业病或雇主存在过错，则雇主需承担相应责任；如果疾病与工作无关，则雇主通常无需承担赔偿责任，但仍需依法给予员工医疗期待遇。

详细分析：

1. 构成工伤的情形：

   • 工伤认定：根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害后引发疾病，或者工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受伤后生病，均视为工伤。此外，员工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡，或在48小时内经抢救无效死亡，也视同工伤。
   • 雇主责任：若疾病被认定为工伤，雇主需在规定时限内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未按时申请，期间发生的工伤待遇费用由雇主承担。若认定为工伤，员工可享受工伤保险待遇，包括医疗费用、停工留薪期工资等。若雇主未缴纳工伤保险费，则相关费用全部由雇主承担。

2. 职业病：

   • 职业病定义：职业病是因接触职业活动中的有害因素而引起的疾病。若员工所患疾病被诊断为职业病，则属于工伤范畴。
   • 雇主责任：雇主有责任提供符合国家职业卫生标准的工作环境，并保障劳动者获得职业卫生保护。若员工被认定为职业病，可享受工伤医疗待遇、停工留薪期工资福利等。同样，若雇主未缴纳工伤保险，相关费用由其承担。

3. 雇主存在过错的情形：

   • 过错认定：如雇主提供的工作环境不符合卫生标准、强制员工超时加班导致身体过度劳累致病等，雇主需对员工的损害承担赔偿责任。
   • 赔偿责任：雇主需赔偿员工因此遭受的损失，包括医疗费、误工费、护理费等合理费用。

4. 疾病与工作无关的情形：

   • 雇主责任：如果员工所患疾病是普通疾病，与工作环境、工作强度等因素没有直接关联，且不符合工伤认定条件，一般情况下雇主不需要承担赔偿责任。
   • 医疗期待遇：但根据相关法律规定，雇主应依法给予员工医疗期，并在医疗期内支付不低于当地最低工资标准80%的病假工资。例如，员工在工作期间因自身身体原因感染了流行性感冒，这种疾病并非工作原因导致，雇主通常无需承担赔偿责任，但需按照规定给予员工相应的医疗期待遇。

建议与行动：

• 申请工伤认定：若员工认为所患疾病与工作相关，建议首先向劳动部门申请工伤认定，以明确责任主体。
• 保留证据：若认为雇主存在过错或违法行为导致患病，应保留相关证据，如工作环境照片、工作记录、医疗证明等，以便维护自身合法权益。
• 寻求法律援助：在处理此类问题时，若遇到复杂情况或不确定如何操作，建议寻求专业法律援助，以便更好地维护自身权益。

综上所述，打工期间生病雇主是否有责任需根据具体情况判断。若疾病与工作直接相关或雇主存在过错，雇主需承担相应责任；若疾病与工作无关，则雇主通常无需承担责任，但仍需遵守相关法律法规，给予员工必要的医疗期待遇。