结论：公司劝退时，员工是否可以请病假，需分情况讨论，但核心在于员工是否确实处于需要病假的医疗期，且病假申请需符合法定条件和公司规定。
一、员工确实处于医疗期且符合病假条件
医疗期的法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这意味着，员工在医疗期内享有请病假的法定权利。
病假的申请条件：
- 员工需要提供真实有效的病假证明，如医院出具的病假条，以证明其确实需要休息治疗。
- 员工应按照公司规定的流程申请病假，包括提交病假证明、填写请假申请表等。
公司劝退时的应对：
- 如果公司试图在员工医疗期内劝退员工，员工有权拒绝，并可以指出公司的行为违反了《劳动合同法》的相关规定。
- 员工可以继续享受病假待遇，直至医疗期满。
二、员工不符合病假条件或医疗期已满
不符合病假条件：
- 如果员工无法提供真实有效的病假证明，或者其病情并不需要休息治疗，那么员工可能无法成功申请病假。
- 在这种情况下，公司劝退员工可能并不构成违法解除劳动合同，但具体还需看公司劝退的理由和程序是否合法。
医疗期已满：
- 如果员工的医疗期已经届满，且其病情仍未好转，无法从事原工作或公司另行安排的工作，那么公司可能有权依据《劳动合同法》的相关规定解除劳动合同。
- 但在此情况下，公司仍需支付员工相应的经济补偿，具体标准按照《劳动合同法》第四十七条执行，即每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
三、员工维权途径
与公司协商：
- 员工可以首先尝试与公司沟通，指出公司劝退行为的违法性（如果确实违法），要求继续履行劳动合同或支付相应的赔偿金。
劳动监察投诉：
- 若协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，提交如劳动合同、病假条、工资条等相关证据，由劳动监察部门对公司的违法行为进行查处。
劳动仲裁与诉讼：
- 员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金（如果公司行为确实违法）。
- 如对仲裁结果不满，员工可在规定期限内向人民法院提起诉讼。
四、注意事项
- 病假证明的真实性：员工在申请病假时，应确保提供的病假证明真实有效，以避免因虚假病假导致的法律纠纷。
- 证据材料的准备：在与公司协商、投诉或仲裁过程中，员工应准备好所有相关证据材料，如劳动合同、工资条、考勤记录、请假审批记录、辞退通知等，以证明自己的劳动关系及被违法辞退（如果确实违法）的事实。
总结与建议：公司劝退时，员工是否可以请病假取决于其是否确实处于需要病假的医疗期，且病假申请需符合法定条件和公司规定。如果员工确实需要病假且符合条件，公司劝退可能构成违法解除劳动合同；如果员工不符合病假条件或医疗期已满，公司劝退的合法性则需根据具体情况判断。在任何情况下，员工都应保留好相关证据材料，以便在需要时维护自己的合法权益。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。