结论：孩子在学校被同学推导致骨折且构成十级伤残，选择走公了（即通过法律途径解决）还是私了（即双方协商解决），需根据具体情况综合考虑。以下是从不同角度的分析和建议：
一、法律途径（公了）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。
- 在学校等教育机构中，若因同学间的侵权行为导致伤害，且教育机构未尽到教育、管理职责的，教育机构也应承担相应的责任。
法律程序：
- 报警与调查：首先，应立即报警，由警方进行调查并出具事故认定书，明确责任方。
- 伤残鉴定：进行伤残鉴定，确定伤残等级，这是计算赔偿金额的重要依据。
- 协商与诉讼：在明确责任后，可以与对方家长或教育机构进行协商，若协商不成，可以向法院提起诉讼，要求赔偿。
法律后果：
- 通过法律途径解决，可以确保赔偿金额的公正性和合理性，避免私了中可能出现的赔偿不足或过度赔偿的情况。
- 但法律程序可能相对复杂，耗时较长，且需要承担一定的诉讼费用。
二、协商解决（私了）
协商基础：
- 双方家长或教育机构可以在平等、自愿的基础上，就赔偿金额、赔偿方式等进行协商。
- 协商时应充分考虑孩子的实际损失、伤残等级以及未来的康复需求等因素。
协商优势：
- 协商解决可以节省时间和精力，避免法律程序的繁琐和耗时。
- 双方可以更加灵活地处理赔偿事宜，如分期付款、提供额外帮助等。
协商风险：
- 私了可能存在赔偿不足的风险，特别是当对方家长或教育机构对赔偿金额有异议时。
- 若协商不成或后续出现争议，可能仍需通过法律途径解决，此时可能已错过最佳诉讼时机。
三、综合建议
评估损失与责任：
- 首先，应全面评估孩子的实际损失，包括医疗费、护理费、残疾赔偿金等。
- 同时，明确责任方，是对方同学、教育机构还是两者共同责任。
考虑孩子未来需求：
- 在决定赔偿金额时，应充分考虑孩子未来的康复需求、教育需求等，确保赔偿金额能够覆盖这些费用。
咨询专业意见：
- 在做出决定前，建议咨询专业律师的意见，了解法律程序和可能的风险，以便做出更加明智的选择。
灵活处理：
- 若双方能够达成一致意见，且赔偿金额合理，可以选择私了；若存在争议或赔偿金额不合理，建议通过法律途径解决。
最后，无论选择哪种方式解决，都应确保孩子的权益得到充分保障。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。