乡镇是否有权利开除公益岗位，这并非一个简单的“有”或“没有”的问题，而是需要根据具体情况和法律规定来综合判断。以下是我从不同角度为你进行的分析：

1. 公益岗位的性质与合同关系：

   • 公益岗位通常是由政府或相关机构为了社会公益目的而设立的，其招聘、管理和解聘往往受到特定政策或法规的约束。
   • 如果你与乡镇签订了劳动合同，那么乡镇作为用人单位，在解除劳动合同时需要遵循《劳动合同法》的相关规定。根据《劳动合同法》，用人单位解除劳动合同需要有合法的理由，并遵循法定的程序，如提前通知、支付经济补偿等。

2. 开除公益岗位的合法情形：

   • 如果公益岗位的工作人员存在严重违反单位规章制度、失职渎职、违法犯罪等行为，乡镇作为用人单位有权依据相关法律法规和劳动合同的规定，解除与该工作人员的劳动合同。
   • 但在此情况下，乡镇也需要确保解除劳动合同的程序合法，如通知工会、听取职工意见、进行经济补偿等，以避免因程序不当而引发的法律纠纷。

3. 开除公益岗位的非法情形：

   • 如果乡镇没有合法的理由或未遵循法定的程序就开除公益岗位的工作人员，那么这种行为可能是违法的。
   • 例如，如果乡镇仅因个人喜好、关系亲疏或无关紧要的原因就开除工作人员，而没有提供充分的证据和合理的解释，那么这种行为可能构成违法解除劳动合同，工作人员有权要求乡镇继续履行合同或支付赔偿金。

4. 特殊情况下的处理：

   • 在某些特殊情况下，如公益岗位因政策调整、项目结束等原因而不再需要，乡镇可能需要与工作人员协商解除劳动合同或进行岗位调整。
   • 在此情况下，乡镇应尽可能与工作人员达成一致意见，并按照相关法律法规和劳动合同的规定进行处理，以维护双方的合法权益。

建议：

• 如果你作为公益岗位的工作人员面临被开除的情况，首先应了解乡镇开除你的具体理由和程序是否合法。
• 如果认为乡镇的行为违法或不合理，你可以与乡镇进行协商，要求其提供合理的解释和补偿方案。
• 如果协商无果，你可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

希望以上分析能对你有所帮助。如果你有任何进一步的疑问或需要具体的法律建议，请随时向我咨询。