当公司不提交书面辞退员工通知时，员工应依法依规，通过与公司协商、收集证据、寻求法律援助等途径，要求公司出具正式的辞退通知，并维护自己的合法权益。以下是从不同角度给出的详细分析和建议：
一、与公司沟通协商
面谈与书面要求：
- 员工应首先尝试与直接上级或人力资源部门负责人进行面对面沟通，明确要求公司出具书面的辞退通知。
- 若面谈无果，可发送正式的电子邮件或邮政函件（建议使用EMS并保留寄送凭证）给公司相关负责人，再次强调要求公司在一定期限内（如三个工作日）出具正式的辞退通知，并告知逾期不出具的不利后果。
记录与保留证据：
- 在沟通过程中，员工应注意保留相关证据，如录音、邮件往来等，以证明双方就辞退事宜进行过沟通。
二、收集其他证明材料
工作交接记录：
- 保存与工作交接相关的文件、邮件、清单等，作为辞退事实的间接证据。
聊天记录与通讯记录：
- 保留与公司领导、同事就辞退事宜进行沟通的微信、QQ、企业内部通讯工具上的聊天内容，确保记录的完整性。
工资与社保记录：
- 关注工资发放和社保缴纳情况，任何不合理的调整或停止都可能作为辞退的佐证。
书面形式提出要求：
- 员工可以书面形式向公司明确提出要求出具辞退通知单，并注明日期及辞退行为对自己权益的影响。
同事旁证：
- 如果同事知晓被辞退的情况，他们可以作为证人提供旁证。
三、寻求外部帮助
向劳动监察部门投诉：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，员工有权携带相关证据材料向当地劳动监察部门进行投诉，要求责令公司出具辞退通知并对违法行为进行处罚。劳动监察部门将根据提供的材料进行调查，并对公司的违法行为进行处理。
申请劳动仲裁：
- 若劳动监察部门的处理未能达到预期效果，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请仲裁时，员工需要提交仲裁申请书，写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由等内容，并提交之前收集的所有证据材料。仲裁委员会将根据事实和法律进行裁决，明确要求公司出具辞退通知，并要求公司承担因未依法出具通知给员工造成的损失。
提起诉讼：
- 在极端情况下，如果劳动仲裁未能解决问题，员工还可以向法院提起诉讼。法院将依法审理案件，并作出公正判决，进一步维护员工的合法权益。
四、法律后果与风险提示
- 公司法律责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，用人单位违反本法规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。因此，公司若不出具书面辞退通知，可能面临劳动行政部门的处罚，并需承担给员工造成的损失赔偿责任。
- 员工权益保障：员工在面临公司不出具书面辞退通知时，应积极采取措施保护自己的权益。通过与公司协商、收集证据、寻求法律援助等途径，确保自己的诉求得到合理支持。同时，员工也应注意保留好所有相关证据，以便在后续的法律程序中证明自己的主张。
总结与建议：面对公司不出具书面辞退通知的情况，员工应保持冷静和理性，依法依规行事。通过与公司沟通协商、收集证据、寻求法律援助等多途径来维护自己的合法权益。在处理此类劳动争议时，员工应确保所有行动都符合法律法规的要求，以确保自己的诉求得到合理支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。