被赡养老人突然死亡后，专项附加扣除的处理方式为：自老人死亡当月起，纳税人不再享受赡养老人专项附加扣除。以下是详细解释：

1. 扣除原则与时间节点
   根据《个人所得税专项附加扣除暂行办法》第二十三条，赡养老人专项附加扣除的享受时间为被赡养人年满60周岁的当月至赡养义务终止的年末。若老人突然死亡，赡养义务终止时间以死亡日期为准，扣除应截止到死亡当月。例如，老人于2024年5月10日去世，则纳税人可在5月继续享受扣除，但6月起不再扣除。

2. 申报与调整流程

   • 及时更新信息：纳税人需在老人死亡后，通过个人所得税APP或向扣缴义务人（如单位）提交变更信息，修改专项附加扣除的赡养老人状态。
     
   • 系统自动调整：若未及时更新，系统可能默认继续扣除，但税务机关后续核查发现后，纳税人需补缴税款及滞纳金。因此，主动申报终止扣除是避免风险的关键。

3. 特殊情况处理

   • 多子女分摊扣除：若老人有多个子女且共同分摊扣除，死亡后剩余子女需重新协商分摊比例，并更新申报信息。
     
   • 扣除年度衔接：若老人在年度中间死亡，当年已享受的扣除无需退还，但次年汇算清缴时需确认是否符合扣除条件。

建议：为确保合规，纳税人应在老人死亡后尽快完成信息变更，并保留死亡证明、亲属关系证明等材料备查。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。