要证明养子是养父母的法律继承人，关键在于证明双方存在合法有效的收养关系，且符合法定继承的相关规定。具体可从以下角度进行证明：

1. 收养登记证明
   根据《民法典》第1105条，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记，收养关系自登记之日起成立。因此，收养登记证是最直接、最核心的证据。若养父母与养子办理了合法的收养登记，该证书即可证明双方存在法律认可的收养关系，养子自然成为第一顺序法定继承人。

2. 事实收养的证明（若未登记）
   若收养行为发生在《民法典》实施前（即2021年1月1日前），且未办理登记，但符合当时法律规定的“事实收养”条件（如长期共同生活、公开以父母子女相称、履行抚养教育义务等），可通过以下证据证明：

   • 户籍证明：养子的户口簿中登记为养父母的子女，或与养父母在同一户籍内；
     
   • 证人证言：邻居、亲友、社区工作人员等出具的书面证言，证明双方长期以父母子女关系共同生活；
     
   • 生活痕迹证据：如共同生活的照片、视频、医疗记录、学校入学证明等，证明养子由养父母抚养长大；
     
   • 经济往来证明：如养父母为养子支付学费、医疗费、生活费等的银行转账记录或收据。
     

3. 遗嘱继承的特殊情况
   若养父母通过合法有效的遗嘱指定养子为继承人，即使未办理收养登记（但需注意，未登记的收养关系可能影响遗嘱的效力，需结合具体证据判断），养子仍可依据遗嘱继承遗产。此时需提供：

   • 遗嘱原件或公证文书；
     
   • 遗嘱见证人（如有）的证言；
     
   • 其他证明遗嘱真实性的证据（如录音、录像等）。
     

4. 排除其他继承人的争议
   若养父母有其他亲生子女或合法继承人，可能对养子的继承权提出异议。此时需重点证明：

   • 收养关系的合法性（如登记证明或事实收养证据）；
     
   • 养父母与亲生子女已通过法律程序（如协议、公证）明确放弃继承权或排除继承权；
     
   • 养子与养父母长期共同生活，履行了赡养义务（如支付赡养费、照顾生活等证据）。
     

温馨提示：

• 若收养关系存在争议（如未登记、程序瑕疵），建议提前收集事实收养的证据，必要时通过法院确认收养关系；
  
• 继承纠纷涉及复杂法律程序和证据规则，若遇到具体问题，可直接向我咨询，我会结合您的实际情况提供详细解决方案。