结论：公公留下的遗产，他的兄弟能否继承，主要取决于是否存在有效的遗嘱以及法定继承的具体情况。
分析如下：
遗嘱继承的情况：
- 如果公公在生前立有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中明确指定了遗产的继承人，那么遗产将按照遗嘱的分配方式进行继承。在这种情况下，如果遗嘱中没有指定公公的兄弟为继承人，那么公公的兄弟将无权继承遗产。
- 反之，如果遗嘱中指定了公公的兄弟为继承人，那么公公的兄弟则有权按照遗嘱继承遗产。
法定继承的情况：
- 如果公公没有立遗嘱或者遗嘱无效，那么遗产将按照法定继承的方式进行分配。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。公公的兄弟并不属于第一顺序继承人。
- 只有在没有第一顺序继承人或者第一顺序继承人全部放弃或丧失继承权的情况下，第二顺序继承人（包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）才有权继承遗产。因此，在一般情况下，公公的兄弟作为第二顺序继承人，是无权继承遗产的。但是，如果公公没有第一顺序继承人，或者第一顺序继承人均放弃或丧失继承权，那么公公的兄弟则有权继承遗产。
建议：
- 如果家庭成员对遗产继承存在争议，建议首先尝试通过协商解决。协商不成的，可以寻求人民调解委员会等第三方机构的调解。
- 如果争议无法通过协商或调解解决，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权途径。在必要时，可以通过诉讼等法律手段来维护自己的合法权益。
额外提醒：
- 遗产继承问题往往涉及复杂的家庭关系和财产状况，因此在处理时需要谨慎对待。
- 在处理遗产继承问题时，建议保留好相关证据和文件，如遗嘱、死亡证明、亲属关系证明等，以便在需要时提供证明。
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