公公留下的遗产，其继承问题首先需依据公公生前是否留有合法有效遗嘱或遗赠扶养协议来确定；若无，则按照法定继承顺序和规则进行分配。以下是对此问题的详细分析：

1. 遗嘱或遗赠扶养协议的情况：

   • 遗嘱继承：若公公生前立有合法有效的遗嘱，明确指定了遗产的继承人或受赠人，那么遗产将按照遗嘱的内容进行分配。遗嘱继承人可以是法定继承人范围内的个人，也可以是法定继承人以外的组织或个人。例如，公公可能通过遗嘱将部分遗产留给某个子女，或者将遗产赠与长期照顾他的朋友或慈善机构。
   • 遗赠扶养协议：如果公公与继承人以外的组织或个人签订了遗赠扶养协议，并且该组织或个人已经履行了生养死葬的义务，那么该组织或个人将享有受遗赠的权利，优先于其他继承人继承协议中约定的遗产。例如，公公可能与养老院签订遗赠扶养协议，养老院负责他的生活照料和后事处理，他去世后，部分或全部遗产将归养老院所有。

2. 法定继承的情况：

   • 第一顺序继承人：在无遗嘱或遗赠扶养协议，或这些文件无效的情况下，遗产将按照法定继承顺序分配。第一顺序继承人包括公公的配偶（即婆婆）、子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）以及父母（若仍在世）。这些继承人通常均等分配遗产，但考虑以下特殊情况：
     • 对生活有特殊困难且缺乏劳动能力的继承人，应给予特别照顾，适当多分遗产。
     • 对公公尽了主要扶养义务或与其共同生活的继承人，可以多分遗产。
     • 有扶养能力和条件但未尽扶养义务的继承人，应当不分或少分遗产。
   • 第二顺序继承人：在第一顺序继承人不存在或放弃继承权时，由第二顺序继承人继承。第二顺序继承人包括公公的兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。这里的兄弟姐妹包括同父母的、同父异母或同母异父的、养兄弟姐妹以及有扶养关系的继兄弟姐妹。
   • 代位继承：若公公的子女先于其死亡，则该子女的直系晚辈血亲（如孙子女）有权代位继承其原本应得的遗产份额。
   • 适当分得遗产的人：对于依靠公公扶养且非继承人的个人，或对公公扶养较多但非继承人的个人，可以依法分得适当的遗产。

法律建议：

• 在处理公公留下的遗产问题时，建议家庭成员首先尝试协商解决，以维护家庭和谐。
• 若协商不成，或存在争议，建议及时咨询专业律师，以确保遗产分配的合法性和合规性，同时尊重并保护所有相关方的权益。
• 在整个过程中，应保留好相关证据，如遗嘱、遗赠扶养协议、亲属关系证明等，以便在需要时提供证明。

如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律指导。