结论是：私人单位在员工生病时是否有权利开除，需根据具体情况判断，并非绝对有权或无权开除。以下从不同角度为您详细分析：
一、员工患病属于法定医疗期内的情形
法律规定：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。
- 在医疗期内，用人单位不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，除非员工存在严重违反用人单位规章制度等法定过错情形，否则用人单位无权开除员工。
法律后果：
- 如果用人单位在医疗期内违法开除员工，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金根据员工在用人单位的工作年限和月工资计算。
二、员工患病超出法定医疗期的情形
法律规定：
- 当员工患病超出法定医疗期，且不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作时，用人单位可以依据《劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。
- 但在此情况下，用人单位仍需支付员工经济补偿金，并按照国家有关规定向员工支付医疗补助费。
实际操作建议：
- 对于用人单位而言，在员工患病超出医疗期时，应首先与员工协商，尝试调整工作岗位或安排其他合适的工作。如果确实无法安排，再考虑解除劳动合同，并依法支付经济补偿金和医疗补助费。
- 对于员工而言，如果认为自己仍能胜任工作，或者用人单位未依法支付经济补偿金和医疗补助费，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
三、员工患病存在法定过错情形的
法律规定：
- 如果员工在患病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等法定过错情形，用人单位有权依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。
注意事项：
- 用人单位在解除劳动合同时，应确保员工确实存在法定过错情形，并保留相关证据。否则，可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。
总结与建议：私人单位在员工生病时是否有权利开除，需根据员工是否处于法定医疗期内、是否能够从事原工作或另行安排的工作以及是否存在法定过错情形等因素综合判断。如果您或您身边的人遇到此类问题，建议直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。