结论前置：工厂在员工劳动合同到期后继续让员工工作，而未及时续签劳动合同，这一行为本身并不直接构成违法，但工厂需要承担一定的法律责任，主要是向员工支付双倍工资以及可能面临的其他法律后果。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，用人单位与劳动者继续用工的，应当续订劳动合同。若未续订，但双方继续保持劳动关系，则视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，但此时工厂需要承担一定的法律责任。
二、工厂的法律责任
双倍工资支付：
- 根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这意味着，如果工厂在劳动合同到期后超过一个月仍未与员工续签劳动合同，但员工继续在工厂工作，工厂需要向员工支付双倍工资。
视为订立无固定期限劳动合同：
- 如果工厂自用工之日起满一年不与员工订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第十四条，将视为工厂与员工已订立无固定期限劳动合同。此时，工厂不仅需要支付双倍工资（但仅限于未签合同期间，且最长不超过十一个月），还需要承担无固定期限劳动合同下的相关责任。
三、可能的其他法律后果
- 劳动行政部门处罚：工厂未依法与员工签订劳动合同，可能面临劳动行政部门的处罚，如警告、罚款等。
- 员工解除劳动合同并主张经济补偿：如果员工因工厂未签劳动合同而选择解除劳动合同，工厂可能需要支付经济补偿。
四、建议与行动
工厂方面：
- 工厂应在劳动合同到期前与员工协商续签事宜，确保劳动合同的及时续签。
- 如果因特殊原因无法及时续签，工厂应与员工签订书面协议，明确双方的权利和义务，以避免法律风险。
员工方面：
- 员工有权要求工厂续签劳动合同或支付双倍工资。
- 如果员工认为工厂的行为侵犯了其合法权益，可以向当地劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁。
总结来说，工厂在员工劳动合同到期后继续让员工工作而未及时续签劳动合同，虽然不直接构成违法，但需要承担支付双倍工资等法律责任。因此，建议工厂和员工都应重视劳动合同的续签工作，以避免不必要的法律风险。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询。